Частни производни

[Гост]

Здравейте,
затруднявам се със следните задачи:

1) Да се намерят частните производни z'x и z'y

x^3 + 2y^3 + z^2 - 3xyz - 2y + 3=0

arctg(xy) + x/y

z=lnx + lny + x^2 - x^3.y^2 + xy^2 - 2x + y

Благодаря предварително и се извинявам ако не изписвам правилно нещата, но съм нов тук.

[Knowledge Greedy]

Отзад - напред:
[tex]z=lnx + lny + x^2 - x^3.y^2 + xy^2 - 2x + y[/tex]
Когато търсим производната по [tex]x[/tex] останалите променливи считаме за константи
в случая [tex]\frac{\partial y}{\partial x} =0[/tex],
а също [tex]\frac{\partial lny}{\partial x }=0[/tex].
В случаите, когато въпросните константи по отношение на [tex]x[/tex] са множители, те се запазват като множители - виж в табличните производни [tex](Cu)^{'}=Cu^{'}[/tex]
- в случая [tex]\frac{\partial xy^{2}}{\partial x} =y^{2}[/tex], но [tex]\frac{\partial xy^{2}}{\partial y} =x2y=2xy[/tex],
а също [tex]\frac{\partial (-x^{3}y^{2})}{\partial x} =-3x^{2}y^{2}[/tex], но [tex]\frac{\partial (-x^{3}y^{2})}{\partial y} =-x^{3}2y=-2x^{3}y[/tex].
Така намираме
[tex]\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial lnx}{\partial x }+\frac{\partial lny}{\partial x }+\frac{\partial x^{2}}{\partial x} -\frac{\partial (x^{3}y^{2})}{\partial x} +\frac{\partial (xy^{2})}{\partial x} -\frac{\partial (2x)}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial x}[/tex]
[tex]\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{x }+0+2x-3x^{2}y^{2}+y^{2}-2+0[/tex]
Окончателно
[tex]z^{'}_{x}=\frac{1}{x }+2x-3x^{2}y^{2}+y^{2}-2[/tex]
--------------------------------------------------------------------------.
[tex]\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial lnx}{\partial y }+\frac{\partial lny}{\partial y }+\frac{\partial x^{2}}{\partial y} -\frac{\partial (x^{3}y^{2})}{\partial y} +\frac{\partial (xy^{2})}{\partial y} -\frac{\partial (2x)}{\partial y}+\frac{\partial y}{\partial y}[/tex]
[tex]\frac{\partial z}{\partial y}=0+\frac{1}{ y }+0 -2x^{3}y +2 xy -0+1[/tex]
Окончателно
[tex]z^{'}_{y}=\frac{1}{ y } -2x^{3}y +2 xy +1[/tex]
-------------------------------------------------------------------------
Ако [tex]z=arctg(xy) + x/y[/tex],
то
[tex]z^{'}_{x}=\frac{y}{1+(xy)^{2}} +\frac{1}{y }[/tex]
и
[tex]z^{'}_{y}=\frac{y}{1+(xy)^{2} }-\frac{x}{y^{2} }[/tex]