1+3+5+.....+(2n - 1) = n^2

[Гост]

Да се докаже, че за всяко естествено число са верни равенствата: 1+3+5+.....+(2n - 1) = n на квадрат,
и 2+4+6+.....+2n = n(n + 1)

[math10.com]

И двете се доказват елементарно с математическа индукция:
Проверяваш дали е вярно за [tex]n=1[/tex].Допускаш, че е вярно за [tex]n=k[/tex] и доказваш, че е вярно за [tex]n=k+1[/tex]

[Knowledge Greedy]

Трябва да умеем да записваме нечетните числа с техните номера.
№1 [tex]n=1[/tex] първото нечетно число е 2.1-1=[tex]1[/tex]
№2 [tex]n=2[/tex] второто нечетно число е 2.2-1=[tex]3[/tex]
№3 [tex]n=3[/tex] третото нечетно число е 2.3-1=[tex]5[/tex]
... ... ...
№[tex]k[/tex] [tex]n=k[/tex], [tex]k-[/tex]тото число е [tex]2.k-1[/tex]
А сега сумите.
[tex]1=1^2[/tex]
[tex]1+3=2^2[/tex]
[tex]1+3+5=3^2[/tex]
Ако предположим, че на някоя стъпка (тук сме проверили само първите три)
например с номер [tex]n[/tex] е изпълнено
[tex]1+3+5+...+(2n-1)=n^2[/tex] [tex](\ast)[/tex]
то следващата сума [tex]1+3+5+...+(2n-1)+(2n+1)[/tex] [tex](\ast \ast)[/tex]
може да бъде записана като първите [tex]n[/tex] събираеми в [tex](\ast \ast)[/tex] заместим с тяхното равно от [tex](\ast)[/tex]
[tex]n^2+(2n+1)[/tex][tex]=(n+1)^2[/tex] - значи твърдението е вярно за всяко цяло положително число [tex]n[/tex].
.....................................
Това е доказателство с принципа на пълната математическа индукция.

[grav]

Също така човек може да забележи, че това са суми на аритметични прогресии.

[Knowledge Greedy]

Да, разбира се. Но нашият гост навярно е малък, но любознателен и затова му предложихме тази идея (като за осмокласници).
Може и по-нагледно.

http://estoyanov.net/?page_id=1130

Математика без думи четвъртият пример е най-близо до тези суми
-непосредствено

http://estoyanov.net/wp-content/uploads ... /side2.swf

[math10.com]

А не се ли доказва формулата за сума на аритметична прогресия с помощта на математическа индукция?

Ето още един готин начин стига обаче да знаем , че :
[tex]1+2+3+....+n=\frac{n(n+1)}{2}[/tex]

Втория пример се доказва непосредствено.Изваждаме 2 пред скоби и получаваме:
[tex]2+4+6+.....+2n=2(1+2+3+......+n)=2.\frac{n(n+1)}{2}=n(n+1)[/tex]

Сега преминаваме към 1-вия пример.Нека съберем 1-вия и 2-рия пример от условието:
[tex]1+3+5+....+(2n-1)+2+4+6+.......+2n=1+2+3+.....+2n=\frac{2n(2n+1)}{2}=n(2n+1)[/tex]
[tex]\Right 1+3+5+....+(2n-1)=1+2+3+.....+2n-(2+4+6+.......+2n)=n(2n+1)-n(n+1)=n^2[/tex]

[grav]

А не се ли доказва формулата за сума на аритметична прогресия с помощта на математическа индукция?

Не е задължително. Може и като малкия Гаус, да се забележе, че сумата на първия и последния член е същата като сумата на втория и предпоследния и т.н.