Меню
Стигнах до половината на следната задача и ще съм Ви благодарен, ако ми помогнете да я реша до края:
Трябва да се докаже, че за всяко естествено число са верни равенствата:
[tex]1^4+2^4+3^4+...+n^4=\frac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30}[/tex]
Ето до къде я реших:
Първо проверяваме за [tex]n=1[/tex]:
[tex]1^4=1[/tex]
[tex]\frac{1(1+1)(6*1^3+9*1^2+1-1)}{30}=\frac{2(6+9)}{30}=\frac{30}{30}=1[/tex]
Сега допускаме, че [tex]n=k[/tex]:
[tex]1^4+2^4+3^4+...+k^4=\frac{k(k+1)(6k^3+9k^2+k-1)}{30}[/tex]
И накрая, че [tex]n=k+1[/tex]:
[tex]1^4+2^4+3^4+...+k^4+(k+1)^4=\frac{k(k+1)(k+2)(6(k+1)^3+9(k+1)^2+k}{30}[/tex]
И след като [tex]1^4+2^4+3^4+...+k^4=\frac{k(k+1)(6k^3+9k^2+k-1)}{30}[/tex]
тогава трябва да съберем [tex]\frac{k(k+1)(6k^3+9k^2+k-1)}{30}+(k+1)^4[/tex]
за да получим [tex]\frac{k(k+1)(k+2)(6(k+1)^3+9(k+1)^2+k}{30}[/tex]
[tex]\frac{k(k+1)(6k^3+9k^2+k-1)}{30}+(k+1)^4=\frac{k(k+1)(6k^3+9k^2+k-1)}{30}+\frac{30(k+1)^4}{30}=[/tex]
[tex]\frac{k(k+1)(6k^3+9k^2+k-1)+30(k+1)^4}{30}[/tex]
И сега въпросът ми е, как оттук да стигна до [tex]\frac{k(k+1)(k+2)(6(k+1)^3+9(k+1)^2+k}{30}[/tex]?
