Да, често колегите дават такива задачи. И на тях да им е по-лесно, а и учениците (студентите) да разберат, че различното по форма може да е същото по съдържание.
a) Ето сумата на елементите с нечетни индекси
[tex]a_1+a_3+a_5+...+a_{2n-3}+a_{2n-1}+a_{2n+1}[/tex]
б) А тук да разпишем малко по-подробно:
при [tex]k=4[/tex] [tex]\Rightarrow 2k-7=1[/tex] и значи [tex]a_{2k-7}= a_1[/tex]
при [tex]k=5[/tex] [tex]\Rightarrow 2k-7=3[/tex] и значи [tex]a_{2k-7}= a_3[/tex]
при [tex]k=6[/tex] [tex]\Rightarrow 2k-7=5[/tex] и значи [tex]a_{2k-7}= a_5[/tex]
...
за последното събираемо -
при [tex]k=n+4[/tex] [tex]\Rightarrow 2k-7=2(n+4)-7=2n+8-7=2n+1[/tex] и значи [tex]a_{2k-7}= a_{2n+1}[/tex]
Сега вече ясно ли е, какво казва господин
pal702004 ? И каква "магия" е направил Вашият колега, като е променил границите на сумирането и индексите с [tex]4[/tex]?
Следователно сумата е отново на същите елементи с нечетни индекси.
c) [tex]\sum_{k=1}^{2n+1 }a_{k} -\sum_{k=1}^{2n+1 }a_{2k}[/tex]
Тук изваждаме от сумата на всички елементи тези, които са с четни индекси. Кои остават?
[tex](a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+....+a_{2n-3}+a_{2n-2}+a_{2n-1}+a_{2n}+a_{2n+1})-(a_2+a_4+a_6+...+a_{2n-4}+a_{2n-2}+a_{2n})[/tex]
Като се разкрият скобите
[tex]a_1+\cancel{a_2}+a_3+\cancel{a_4}+a_5+\cancel{a_6}+....+a_{2n-3}+\cancel{a_{2n-2}}+a_{2n-1}+\cancel{a_{2n}}+a_{2n+1}-\cancel{a_2}-\cancel{a_4}-\cancel{a_6}-...-\cancel{a_{2n-2}}-\cancel{a_{2n}}[/tex]
и се унищожат подобните с противоположни знаци.
Остават тези, с нечетни индекси.
d) Множителят [tex]sin{\left ( {\frac{\pi }{2 }+2l\pi} \right )}=1[/tex] e направо излишен. Затова се съсредоточаваме върху
индикатора за четност - нечетност [tex]\frac{1-(-1)^l}{2 }[/tex]
Очевидно е, че при [tex]l[/tex] - четно, множителят става нула; при [tex]l[/tex] - нечетно, множителят [tex]\frac{1-(-1)^l}{2 }[/tex] става единица. Ясно е, че от събираемите остават само тези, които са с нечетни индекси.
е) Ако всичко дотук е станало ясно, тази подточка ще разбиеш сам
Feci, quod potui, faciant meliora p0tentes.
Сторих каквото можах, по-добрите по-добро да направят.
Меню
