Комплексни числа,как да реша следните задачи

[Гост]

Здравейте, имам да реша 4 задачи,свързани с комплексните числа,но не зная как да започна самите задачи.Разбирам,че става въпрос за много задачи,затова ви моля просто да ми дадете насоки или така да се каже основата към решаване на задачите.

Ето я и първата:

Scan0001.jpg (137.34 KiB) Прегледано 876 пъти

за а) съм получил (z+2i)^2
зa b) според мен е вече опростено и не знам какво повече искат
за с) бях поучил (x^2 - i).(x^2 + i) ,но след това видях,че изразът x^4 + 1 принадлежи към реалните числа и не знам дали мога да използвам i в този случай
за d) съм получил (x-2)(x^3 + x - 2)

2 задача

Scan0002.jpg (186.31 KiB) Прегледано 876 пъти

3 задача

Scan0003.jpg (302.48 KiB) Прегледано 876 пъти

[Гост]

4 задача

Scan0004.jpg (162.96 KiB) Прегледано 875 пъти

[Гост]

О.о какви са тия задачи,нямам никва идея как се решават...

[Гост]

Що за означение е това Pol C ?

[Гост]

Комплексен полином

[Knowledge Greedy]

Струва ми се, че условието на първа задача трябва да е: представете в каноничен вид всеки от полиномите.
Т.е. във вид на произведение.
В този смисъл решена е само първата задача 1а)
Поставено е добро начало в решението на 1c) и 1d).
За да довършиш в 1d) групирай във вторите скоби [tex](x^3-1)+(x-1)[/tex].
Няма нищо страшно. Ще се обадя отново.

[amsara]

Хич не съм сигурна в правотата си и все пак ще споделя до какво стигнах. Не съм учила комплексни числа и може подходът ми да е тотално грешен. В първа задача за подточка д съм сигурна, че e недоразложен многочленът. Във втората скоба има още какво да се направи. И съм сигурна, защото разлагането там няма нищо общо с комплексните числа.[tex]x^3+x-2=x^3+x-1-1=x^3-1+(x-1)=(x-1)(x^2+x+1)+(x-1)=(x-1)(x^2+x+2)[/tex]

Другото, с което се пробвах, е примерът б). Не знам дали е позволено и тук да си правим проверка къде се нулира полиномът. Ако е, то знаем, че това става при [tex]i[/tex]. Тогава разложеният многочлен е във вида:
[tex](z-i)(z^4+az^3+bz^2+cz+1)= z^5+az^4+bz^3+cz^2+z-iz^4-aiz^3-biz^2-ciz-i[/tex]
Привеждаме в нормален вид и намираме неизвестните коефициенти, като съобразяваме,че щом нямаме четвърта, трета, втора и първа степен, ще трябва да приравняваме на 0.
[tex]z^5+z^4(a-i)+z^3(b-ai)+z^2(c-bi)+z(1-ci)-i=[/tex]
[tex]a-i=0 =>a=i[/tex]
[tex]b-ai=0 <=> b-i^2=0 <=>b+1=0 <=> b=-1[/tex]
[tex]c-bi=0 <=> c-(-1)i=0 <=> c+i=0 <=> c=-i[/tex]
[tex]=> z^5-i=(z-i)(z^4+iz^3-z^2-iz+1)[/tex]

[Knowledge Greedy]

Както написах снощи условието трябва да е:
1b) Представете полинома [tex]z^5-i[/tex] в каноничен вид .
Решение.
Решаваме съответното полиномно уравнение [tex]z^5-i=0[/tex].

То е най-простото след линейното - намиране 5-ите корени на единицата. [tex]z^5=i[/tex]
Ако смятахме в [tex]\mathbb{R}[/tex], корен няма, защото [tex]z=\sqrt[5]{i}[/tex] не е реално.

В комплексни числа става така.
[tex]i=cos\frac{\pi }{2} +isin\frac{\pi }{2}[/tex]

Поради периодичността на функциите синус и косинус с периоди [tex]2k\pi[/tex] , вярно е и следното
[tex]i=cos{\left ( \frac{\pi }{2}+2k\pi \right )}+isin{\left ( \frac{\pi }{2}+2k\pi \right )}[/tex]

Търсим решения-корени във вида [tex]z=cos\varphi +isin\varphi[/tex].
Тогава по формулата на Моавър

[tex]cos{5\varphi} +isin{5\varphi} =cos{\left ( \frac{\pi }{2}+2k\pi \right )}+isin{\left ( \frac{\pi }{2}+2k\pi \right )}[/tex].

Следователно [tex]5\varphi =\frac{\pi }{2}+2k\pi[/tex] .

[tex]\varphi_k=\frac{\pi }{10}+2k\frac{\pi}{5 }[/tex] И [tex]\forall k\in \left { {1,2,3,4,5} \right }[/tex]

[tex]z_k=cos\varphi_k+isin\varphi_k[/tex]

Петите корени на имагинерната единица.PNG (9.52 KiB) Прегледано 820 пъти

На чертежа се виждат петите корени [tex]z_1, z_2,z_3,z_4[/tex] и [tex]z_5[/tex] на имагинерната единица [tex]i[/tex] върху единичната окръжност, както и техните аргументи [tex]\varphi_1, \varphi_2,\varphi_3,\varphi_4[/tex] и [tex]\varphi_5[/tex] .

А отговорът на задачата е твърде прозаичен [tex]z^5-i=(z-z_1)(z- z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)[/tex].
Все пак е добро допълнение на това решение

... Тогава разложеният многочлен е...[tex]=> z^5-i=(z-i)(z^4+iz^3-z^2-iz+1)[/tex]

като се има предвид, че [tex]z_2=i[/tex] .

[Knowledge Greedy]

1c)
[tex]x^4+1[/tex] е неразложим в [tex]Pol \mathbb{R}[/tex].

Разлагането, което си започнал ще върви в [tex]Pol \mathbb{C}[/tex].

[amsara]

Не разбрах все пак дали става да се представи като произведение и по описания начин с приравняване на коефициентите пред четвърта, трета, втора и първа степен на 0. Или е съвсем грешно като стъпки, въпреки че се стига накрая до същия отговор?

[Knowledge Greedy]

Не разбрах все пак дали става да се представи като произведение и по описания начин с приравняване на коефициентите пред четвърта, трета, втора и първа степен на . ..

Всичко е точно, това е ПСК - принципът за сравняване на коефициентите. Но понеже разлагането е в [tex]Pol \mathbb{C}[/tex] просто трябва да се довърши разлагането на множителя - полиномa от 4-та степен.

[Knowledge Greedy]

Основната идея при решаването на задача 2, е представата за двете основни компоненти на комплексните числа - модула и аргумента. Модулът [tex]|z|[/tex] означава разстоянието от афикса на комплексното число [tex]z[/tex] до афикса на комплексното число [tex]0[/tex] - началото [tex]O[/tex] на комплексната равнина.

Външността на един кръг и една полуравнина.PNG (10.69 KiB) Прегледано 815 пъти

2a) Модулът [tex]|z+i|[/tex] представлява разстоянието от афикса на [tex]i[/tex] до афикса на [tex]z[/tex].
Сега вече разбираме, че синята област се състои от точките - афикси на [tex]z[/tex], които са на разстояние от афикса на [tex]i[/tex]по-голямо от [tex]1[/tex].

2c) Правата, която разделя зелената и жълтата области, се състои от точки - афикси на [tex]z[/tex], които са на равни разстояния ( т.е. [tex]|z-i|=|z-1|[/tex] ) от афиксите на [tex]i[/tex] и [tex]1[/tex]. Избери за отговор жълто или зелено!

2b) Контурът на сивия ромб се състои от отсечки, които са части от правите [tex]x-2y+6=0, x-2y-6=0, x+2y-6=0, x+2y+6=0[/tex]. А сега обърни внимание на факта, че [tex]x=Rez[/tex] и [tex]y=Imz[/tex].

2d) А това множество се състои от афиксите на комплексните числа [tex]z[/tex], чиито реални части [tex]|Rez|>1[/tex]. Погледни бялата ивица - тя се състои от афиксите на комплексните числа [tex]z[/tex], чиито реални части [tex]|Rez|<1[/tex]. Кое е множеството?

Една Не-ивица в компл.равнина.PNG (5.03 KiB) Прегледано 813 пъти

[Knowledge Greedy]

По-долу поправям два сгрешени минуса в първоначалния пост от сутринта

… 2a) Модулът [tex]|z+i|[/tex] представлява разстоянието от афикса на [tex](-i)[/tex] до афикса на [tex]z[/tex].
Сега вече разбираме, че синята област се състои от точките - афикси на [tex]z[/tex], които са на разстояние от афикса на [tex](-i)[/tex] по-голямо от [tex]1[/tex]…

[Knowledge Greedy]

По задача 3. С думата афикс (на [tex]z[/tex] )означаваме геометричната точка в комплексната равнина, отговаряща на комплексното число [tex]z[/tex].

[tex]M_1[/tex] се състои от точките на окръжност в комплексната равнина с център началото [tex]O[/tex] и радиус [tex]\frac{1}{ 2}[/tex].
[tex]M_2[/tex] се състои от точките на права в комплексната равнина, перпендикулярна на реалната ос и минаваща през афикса на комплексното число [tex]\frac{1}{ 2}[/tex].
[tex]M_3[/tex] се състои от точките на окръжност в комплексната равнина с център афикса на комплексното число [tex]\frac{1}{ 2}[/tex] и радиус [tex]\frac{1}{ 2}[/tex].

[tex]f_1(M_1)[/tex] се състои от точките на окръжност в комплексната равнина с център началото [tex]O[/tex] и радиус [tex]\frac{5}{ 2}[/tex]. Защо? Защото [tex]f_1(z)[/tex] представлява хомотетия и ротацияс; хомотетия с център началото [tex]O[/tex] и коефициент [tex]5=\sqrt{4^2+3^2}[/tex], и ротация на ъгъл [tex]\varphi[/tex], чиито [tex]cos\varphi =\frac{4}{ 5}[/tex] (респективно [tex]sin\varphi =\frac{3}{ 5}[/tex] )

[tex]f_1(M_2)[/tex] се състои от точките на права в комплексната равнина, минаваща през точката - афикс на числото [tex]4+3i[/tex] и перпендикулярна на права [tex]g[/tex] през началото и сключваща ъгъл [tex]\varphi[/tex] с реалната ос
([tex]cos\varphi =\frac{4}{ 5}[/tex]).

...

[Knowledge Greedy]

По задача 4.
4 a) Това множество съвпада с множеството [tex]2\mathbb{Z}[/tex] на всички четни цели числа. Вижда се от степените на [tex]i[/tex].
[tex]i^2=-1,[/tex] [tex]\,\,[/tex][tex]i^3=-i,[/tex] [tex]\,\,[/tex][tex]i^4=1,[/tex][tex]\,\,[/tex][tex]i^5=-i,[/tex] [tex]\,\,[/tex][tex]i^6=-1,[/tex]...

4b) Това множество се състои от три аритметични прогресии 1, 9, 17, 25, ...
2, 10, 18, ... и 3, 11, 19, ... от цели числа.

4c) Това множество се състои от шест различни комплексни числа

[tex]z_k=\sqrt[12]{2} \left [cos {\left ( \frac{\pi }{24 }+\frac{k\pi }{ 3} \right )}+ i.sin {\left ( \frac{\pi }{24 }+\frac{k\pi }{ 3} \right ) } \right ][/tex], за [tex]k=1,2,3,4,5,6.[/tex]

4d) ...

[Гост]

Човече,ти си гений! Искам и аз някога да мога ,да обяснявам задачи на новобранци в този форум,ама надали ще се случи