Курсова задача по математика ХТМУ.

[Гост]

Добър ден. Имам нужда от помощ за моята курсова задача. Ако може да ми разясните задачите.Ето снимка:

а = 5;

[Гост]

Сега мисля, че е готово.

[Knowledge Greedy]

На снимки по принцип не отговаряме, но имате късмет, че задачите може би ще са полезни и на други, а са лесни и интересни. Някой все ще ги коментира.

[Knowledge Greedy]

[tex]1.)[/tex] -първата граница е очевидна[tex]1.[/tex]

Втората граница е е опасна. Възможностите са две:
[tex]\lim_{x \to -\infty } (\sqrt{x^2+ax-a} -x)=+\infty[/tex]

и
[tex]\lim_{x \to +\infty } (\sqrt{x^2+ax-a} -x)=\lim_{x \to +\infty} \frac{ax-a}{\sqrt{x^2+ax-a} +x }=\frac{a}{2}[/tex]

[tex]2.)[/tex] Намираме [tex]f'(x)=\frac{1}{2(x^2+a^2) }[/tex]
Първата допирателна e с уравнение [tex]y=\frac{1}{2a^2 }x-\frac{3\pi }{4}[/tex] , защото [tex]f'(0)=\frac{1}{2a^2 }[/tex].

Втората допирателна e с уравнение [tex]y=\frac{1}{4a^2 }x-\frac{1 }{4a}[/tex] , защото [tex]f'(a)=\frac{1}{4a^2 }[/tex].

[tex]3.1.)[/tex]
Представяме функцията във вид с отделена цяла част
[tex]f(x)=x+a+\frac{a^2+a}{x-a }[/tex]

Така производната се вижда непосредствено [tex]f'(x)=1-\frac{a^2+a}{(x-a)^2 }[/tex], лесно се смята втората производна [tex]f''(x)=\frac{a^2+a}{(x-a)^3 }[/tex], и се идентифицира главната част в безкрайността - наклонената асимптота [tex]y=x+a[/tex].

Графиката при [tex]a=-1[/tex] e правата [tex]y=x+1[/tex], а при [tex]a=0[/tex] e правата [tex]y=x.[/tex]
Така остава да внимаваме с графиката в двата случая - когато [tex]a\in (-1;0)[/tex] и когато [tex]a\in (-\infty;-1)\cup(0;+\infty)[/tex] Тя има само една хоризонтална асимптота [tex]y=0[/tex].
Локалният екстремум ще откриеш сама.

Когато [tex]a\in (-\infty;-1)\cup(0;+\infty)[/tex] функцията си има локални екстремуми, поведението и е ясно от чертеж 1.

Изследване на функция 1.PNG (11.74 KiB) Прегледано 856 пъти

Когато [tex]a\in (-1;0)[/tex] , функцията е строго растяща и графиката и е на чертеж 2.

Изследване на функция 2.PNG (10.59 KiB) Прегледано 856 пъти

Графиката на функцията [tex]f(x)=x^2e^{-ax}[/tex] e е показана по-долу

Изследване на функция 3.PNG (9.32 KiB) Прегледано 856 пъти

[Гост]

Ще може ли помощ за интегралите?

[MENKA]

∫ln(x+a)d(x+a)=(ln (x+a))²/2+C

[MENKA]

∫(x²+a)^1/2dx=

=x*(x²+a)^1/2-∫xd(x²+a)^1/2=

=x*(x²+a)^1/2-∫x²/((x²+a))^1/2dx=

=x*(x²+a)^1/2-

-∫(x²+a-a)/((x²+a))^1/2dx=

=x*(x²+a)^1/2-∫(x²+a)^1/2dx-

-a∫(x²+a)^-1/2dx=

=x*(x²+a)^1/2+aln!x+(x²+a)^1/2!-∫(x²+a)^1/2dx

[MENKA]

Така става,че

2∫(x²+a)^1/2dx=

=x*(x²+a)^1/2+a*ln!x+(x²+a)^1/2!=A

∫(x²+a)^1/2=A/2

[MENKA]

∫(ax²+1)*cinxdx=-a∫x²dcocx+∫cinxdx=

=-a{x²*cocx-∫cocxdx²}-cocx=

=-a{x²*cocx-2∫xdcinx}-cocx=

=-a{x²*cocx-2xcinx+2∫cinxdx}-cocx=
=-ax²*cocx+2axcinx+2acocx-cocx+C