Диференциално уравнение

[halfsolo]

Здравейте! Може ли да помоля за помощ за една задача.

Да се реши диференциалното уравнение:
(xy^2+x)dx+(x^2y-y)dy=0

у^2 и x^2 са съответно х и у на квадрат.

[Добромир Глухаров]

[tex](xy^2+x)dx+(x^2y-y)dy=0
\\
F_x=xy^2+x\Rightarrow F_{xy}=2xy\\
F_y=x^2y-y\Rightarrow F_{yx}=2xy[/tex]

[tex]F_{xy}=F_{yx}\Rightarrow[/tex] уравнението е точно

[tex]F(x,y)=\int F_xdx+\varphi(y)=\int(xy^2+x)dx+\varphi(y)=\frac{x^2y^2+x^2}{2}+\varphi(y)
\\
F_y=x^2y-y\Rightarrow \(\frac{x^2(y^2+1)}{2}\)'_y+\varphi'(y)=x^2y-y\Rightarrow x^2y+\varphi'(y)=x^2y-y
\\
\Rightarrow \varphi'(y)=-y\Rightarrow \varphi(y)=-\frac{y^2}{2}+C
\\
\Rightarrow F(x,y)=\frac{x^2(y^2+1)}{2}-\frac{y^2}{2}=C
\\
x^2+(x^2-1)y^2=C
\\
y^2=\frac{C-x^2}{x^2-1}
\\
y=\pm\sqrt{\frac{C-x^2}{x^2-1}}[/tex]

[Гост]

Много благодаря!