Помощ за математическа индукция

[Emsss777]

Здравейте!

Как бихте решили тази математическа индукция?

[tex](1^5+2^5+3^5+...+n^5)+(1^7+2^7+3^7+...+n^7)=2*(1+2+3+...+n)^4[/tex]

Изглежда проста, ама аз нещо се затруднявам.

[math10.com]

За [tex]n=1[/tex] е вярно.
Нека за [tex]n=k[/tex] също е вярно [tex]\Rightarrow (1^5+2^5+....+k^5)+(1^7+2^7+.....+k^7)=2(1+2+...+k)^4=\frac{2k^4(k+1)^4}{2^4}=\frac{k^4(k+1)^4}{8}[/tex]
Нека за [tex]n=k+1[/tex]
[tex](1^5+2^5+....+k^5+(k+1)^5)+(1^7+2^7+.....+k^7+(k+1)^7)=[/tex]
[tex]=(k+1)^5+(k+1)^7+1^5+2^5+....+k^5)+(1^7+2^7+.....+k^7)=[/tex]
[tex]=(k+1)^5+(k+1)^7+\frac{k^4(k+1)^4}{8}=[/tex]
[tex]=\frac{8(k+1)^5+8(k+1)^7+k^4(k+1)^4}{8}=[/tex]
[tex]=\frac{(k+1)^4(k^4+8(k+1)+8(k+1)^3)}{8}=[/tex]
[tex]=\frac{(k+1)^4[k^4-16(k+1)^2+8(k+1)+16(k+1)^2+8(k+1)^3]}{8}=[/tex]
[tex]=\frac{(k+1)^4([k^2-4(k+1)][k^2+4(k+1)]+8(k+1)(k+2)^2)}{8}=[/tex]
[tex]=\frac{(k+1)^4[(k^2-4k-4)(k+2)^2+8(k+1)(k+2)^2]}{8}=[/tex]
[tex]=\frac{(k+1)^4(k+2)^2(k^2-4k-4+8k+8)}{8}=[/tex]
[tex]=\frac{(k+1)^4(k+2)^2(k+2)^2}{8}=[/tex]
[tex]=\frac{(k+1)^4(k+2)^4}{8}=[/tex]
[tex]=\frac{2(k+1)^4(k+2)^4}{2^4}=[/tex]
[tex]=2(\frac{(k+1)(k+2)}{2})^4=[/tex]
[tex]=2(1+2+3+.....+k+(k+1))^4[/tex]

С което доказахме че е вярно и за [tex]n=k+1[/tex]

[Emsss777]

Ехеее! Супер!

Много Ви благодаря за бързия и перфектен отговор!