Интеграли и изследване на функции - фармация МУ

[Elisss]

10912905_1030949660254885_952590754_n.jpg (36.71 KiB) Прегледано 324 пъти

[Knowledge Greedy]

Функцията с двете асимптоти.PNG (14.87 KiB) Прегледано 303 пъти

1. Дефиниционното множество е [tex](-\infty ;0)\cup (0;+\infty )[/tex]

2. Функцията няма реални нули, т.е. уравнението [tex]\frac{x}{2 } +\frac{2}{x }=0[/tex] няма реални корени.

3. Функцията запазва знака си в два интервала: - в [tex](-\infty ;0)[/tex] тя има отрицателни стойности, а в [tex](0;+\infty )[/tex] функцията приема положителни стойности.

4. Нечетна е. Графиката и има център на симетрия - началото [tex]O[/tex] на координатната система.

5. Неограничена отгоре, неограничена отдолу.

6. Непрекъсната във всяка точка от дефиниционното множество.

7. Непериодична.

8. Функцията има една вертикална асимптота и една наклонена асимптота - на чертежа са написани уравненията им.

9. Функцията е диференцируема във всяка точка от ефиниционното множество.
Производната и е [tex]f'(x)=\frac{1}{2 }-\frac{2}{ x^2}[/tex]

10. Производната се анулира в две точки [tex]x_1=-2[/tex] и [tex]x_2=2[/tex].

11. Производната запазва знака си в четири интервала. В [tex](-\infty ;-2)[/tex] производната е положтелна, във всеки от интервалите [tex](-2;0)[/tex] и [tex](0; 2)[/tex] производната е отрицателна, а в интервала [tex](2;+\infty )[/tex] - отново е отрицателна. Въз основа на това, за самата функция [tex]f(x)[/tex] следва, че е монотонно растяща в два интервала и е монотонно намаляваща в два интервала.

12. Локалните екстремуми са [tex]f_{max}(x)=f(-2)=-2[/tex] и [tex]f_{min}(x)=f(2)=2[/tex]

13. Втората производна няма реални корени, следователно функцията няма инфлексна точка.

14. Втората производна запазва знака си в [tex](-\infty ;0)[/tex] - тук тя е отрицателна и в [tex](0;+\infty )[/tex] - тук тя е положителна. В тези два интервала функцията се характеризира с вдлъбнатост и изпъкналост - съответно.

15. Таблица

16. Разположение на графиката спрямо наклонената асимптота [tex]y=\frac{1}{2 }x[/tex] . Графиката е под асимптотата в интервала [tex](-\infty ;0)[/tex] и е над асимптотата в интервала [tex](0;+\infty )[/tex]. За да достигнем до тези изводи, решихме неравенствата [tex]f(x)<\frac{1}{2 }x[/tex] и [tex]f(x)>\frac{1}{2 }x[/tex].

17. Графиката представлява хипербола - кривата с червен цвят на чертежа.

[Knowledge Greedy]

Начинът за решаване се нарича "интегриране по части". Основава се на формулата [tex]\int_{}^{ }udv=uv-\int_{}^{ } vdu[/tex]
[tex]\int_{}^{ } xlnxdx=x^2lnx-\int_{}^{ }xd(xlnx)=x^2lnx-\int_{}^{ }x(lnx+1)dx=x^2lnx-x-\int_{}^{ }xlnxdx[/tex]

Какво получихме? -Същият интеграл, но със знак минус "-" и сред някакви отломки от функции
(- в голямата си част те представляват отговора ). Прехвърляме от лявата страна нашия "-"интеграл.
[tex]\int_{}^{ } xlnxdx=x^2lnx-x+C-\int_{}^{ }xlnxdx[/tex]

Следователно [tex]2\int_{}^{ } xlnxdx=x^2lnx-x+C[/tex]
и отговорът е
[tex]\int_{}^{ } xlnxdx=\frac{1}{2} x^2lnx-\frac{1}{2}x+C[/tex]

-----------------------------
Дано и Светослава и Станислава да го прочетат