Задачи Висша математика Спешноо!

[Гост]

Дали е възможно някой да помогне за следните задачи?
1зад. (1+i)^10 (знакът ^ означава степен);
2 зад. Да се намерят нулите на полинома чрез таблицата на Хорнер:f(x)=x^5+2x^4-7x^3+12x^2-8x^2+24;
3 зад. Да се намерят върховете на триъгълник АВС зададен посредством страните си и да се намерят уравненията на височината и медианата:
AB: 2x-y+3=0;
AC:x+5y-7=0;
BC:3x-2y+6=0;

[Гост]

[quote="Гост"]
2 зад. Да се намерят нулите на полинома чрез таблицата на Хорнер:f(x)=x^5+2x^4-7x^3+12x^2-8х+24;
Така е правилното в предишното имам грешка!

[Добромир Глухаров]

[tex](1+i)^{10}=((1+i)^2)^5=(1+2i+i^2)^5=(1+2i-1)^5=(2i)^5=2^5.i^5=32.i.i^4=32i.(i^2)^2=32i.(-1)^2=32i[/tex]

[Добромир Глухаров]

По втора - така, както си го написал, няма рационални нули. Значи е безсмислено да се прилага Хорнер. Предполагам, че някой коефициент е сбъркан.

[Гост]

Благодаря за решената задача!
Така е в заданието на самата задача за полинома.

[Добромир Глухаров]

Значи коефициентът пред [tex]x^4[/tex] не е [tex]2[/tex], а [tex]-2[/tex] - така вече има рационални корени.

Според правилото на Хорнер, щом старшият коефициент е [tex]1[/tex], рационалните корени са измежду целите делители на [tex]24[/tex] - [tex]-1,1,-2,2,-3,3,-4,4,-6,6,-8,8,-12,12,-24,24[/tex]. Да опитаме например с [tex]-1[/tex]:

[tex]\begin{array}{l|l|l|l|l|l|l} & 1 & -2 & -7 & 12 & -8 & 24\\-1 & 1 & -1.1-2=-3 & -1.(-3)-7=-4 & -1.(-4)+12=16 & -1.16-8=-24 & -1.(-24)+24=48\neq 0\end{array}[/tex]

Получихме остатък [tex]48[/tex], различен от [tex]0[/tex], следователно [tex]-1[/tex] не е нула на полинома - за [tex]x=-1[/tex] полиномът получава стойност [tex]48[/tex], а не [tex]0[/tex].

Да опитаме с [tex]x=2[/tex] и [tex]x=3[/tex]:

[tex]\begin{array}{l|l|l|l|l|l|l} & 1 & -2 & -7 & 12 & -8 & 24\\2 & 1 & 2.1-2=0 & 2.0-7=-7 & 2.(-7)+12=-2 & 2.(-2)-8=-12 & 2.(-12)+24=0\\3 & 1 & 3.1+0=3 & 3.3-7=2 & 3.2-2=4 & 3.4-12=0 & \end{array}[/tex]

Получихме, че [tex]x^5-2x^4-7x^3+12x^2-8x+24=(x-2)(x-3)(x^3+3x^2+2x+4)[/tex]

Ако [tex]x^3+3x^2+2x+4[/tex] има рационални нули, те са сред целите делители на [tex]4[/tex] - [tex]-1,1,-2,2,-4,4[/tex].

[tex]-1[/tex] вече сме го опитали - безуспешно, опитваме и останалите, включително и [tex]2[/tex] (може да е двукратна нула) - за никое от тях не получаваме остатък [tex]0[/tex], следователно [tex]x^3+3x^2+2x+4[/tex] няма рационални нули.

За пълно решение трябва да намерим трите нули на [tex]x^3+3x^2+2x+4[/tex] - чрез радикали - виж ТУК.

[Гост]

Много Ви благодаря !

[Гост]

Дали ще е възможно да обясните как получаваме x^3+3x^2+2x+4 ?

[Добромир Глухаров]

По схемата на Хорнер сме разделили дадения в условието полином отначало на [tex]x-2[/tex], а после частното на [tex]x-3[/tex]. Като частно сме получили полинома, за който питаш. Потърси в Google "Хорнер" - ще излязат много резултати, в които е обяснено как се дели многочлен на двучлен чрез схема на Хорнер.

[Гост]

Добре, благодаря отново!