Топология

[Гост]

Знаем, че реционалните числа са безкрайни, но "изброими" чрез естествените числа, т.е. има еднозначно и обратимо съответствие между тях и N. Нека да номерираме всяко рационално със някакъв индекс n т.е. Q={[tex]q_{n}[/tex]}, n[tex]\in[/tex] N. Да означим множеството [tex]A_{x}[/tex]={n[tex]\in[/tex] N такова че [tex]q_{n}[/tex][tex]\le[/tex] x }. Да разгледаме функцията [tex]\beta[/tex](x)=[tex]\sum_{}^{ }[/tex] 1/[tex]2^{n}[/tex] взета по онези n които принадлежат на [tex]A_{x}[/tex].

Очевидно ако x<=y то [tex]\beta[/tex](x)<=[tex]\beta[/tex](y) също така бета е ограничена от 2 ( ако включим нула във индесите на рационалните числа). Бета е монотонно растяща следователно е интегруема.

Да се докаже че:
-[tex]\beta[/tex] е непрекъсната във ирационалните числа
-[tex]\beta[/tex] е прекъсната във всяко рационално число
-Ако [tex]\alpha[/tex](z)=[tex]\int_{0}^{ z}[/tex] [tex]\beta[/tex] то [tex]\alpha[/tex] е непрекъсната, растяща и диференцуема във всяко ирационалнo и недиференцуема във всяко рационално

[ptj]

Какво ще кажете за следното:
Всеки произволен интервал съдържа безброй много рационални числа, а тогава от дефиницията на [tex]\beta[/tex] следва, че [tex]\beta=2=const[/tex], защото [tex]\lim_{n \to +\infty} \sum{\frac{1}{2^n } }=2[/tex]

П.П. Т.е. както и да номерираме рационалните в един интервал, то тази номерация ще е подредица на естествените числа.

[Гост]

не, Бета не е константа! Бета е две само когато е взета по сбора на ВСИЧКИ рац. числа. т.е. по сбора на 1/2 на степен ВСИЧКИ естествени. индекси n т.е. X клони към безкрайност. Иначе ако вземеш произволен интервал , то Бета макар и сбор на безброй много степени на 1/2 не съдържа всички степени на N, т.е. по-малка е от две. Още повече, този сбор т.е. Бета строго нараства, със нарастването на X, защото се прибавят нови положителни събираеми към сбора.

[Гост]

освен това номерацията е вече направена и не може да се променя. Не забравяй също, че всяко рационално е уникално индексирано от дадено естествено число, т.е. повторения няма.

[ptj]

не, Бета не е константа! Бета е две само когато е взета по сбора на ВСИЧКИ рац. числа. т.е. по сбора на 1/2 на степен ВСИЧКИ естествени. индекси n т.е. X клони към безкрайност. Иначе ако вземеш произволен интервал , то Бета макар и сбор на безброй много степени на 1/2 не съдържа всички степени на N, т.е. по-малка е от две. Още повече, този сбор т.е. Бета строго нараства, със нарастването на X, защото се прибавят нови положителни събираеми към сбора.

Осъзнаваш ли какво означава абзаца в червено?
Ще имаш подредица на редица, чиято граница е 2, а от теоремите за граници следва, че границата на подредицата също е 2.

Ще ти го обясня по-просто:
1.)Всеки интервал от реални числа е изоморфен на цялото множество [tex]R[/tex].
2.)Всички рационални числа намиращи се в произволен интервал са изоморфни на цялото множество [tex]Q[/tex].

Освен това едно безкрайно множество може да разцепи на колкото си поискаш негови безкрайни непресичащи се подмножества.

[Гост]

нещо бъркаш. тука няма никаква подредица в смисъла който ти влагаш! Сборът [tex]\sum_{n }^{ }[/tex][tex]1/2^{n}[/tex] където n[tex]\in[/tex] [tex]A_{x}[/tex] не е подредица на редицата от нарастващите суми която навярно имаш предвид.
Ще ти дам пример: Да кажем че сме номерирали рационалното 3/4 със индекс 0; рационалното 4/5 със индекс 1.
Сега ако изчислиш [tex]\beta[/tex] ( 1/7) ще имаш безкрайна сума на 1/2 по индеците n(безкрайно много) но 0 и 1 ще ги няма в тази сума, т.е. сумата ще е по-малка 2-1-1/2=1/2.

И да макар 2) да е вярно, това не означава, че всички индеци на цялото Q, по начина който ги дефинирах се съдържат във всеки интервал. Всъщност, ако си избереш произволно естествено число n, то около всяко рационално число съществува околност, която НЕ съдържа нито едно рационално число с този или по-малък индекс. Т.е. сумата бета взета само по този интервал ще е по малка от 2-[tex]\sum_{n }^{ }[/tex][tex]1/2^{n}[/tex] където n е произволно голямо но крайно!

[ptj]

O.K.

Разбрах разликата. Границата съществува, но не е същата.
Последните ви редове съдържат идеята на доказателството на 1-вата част от задачата.
Колкото до ирационалните числа - просто може да се додефинира функцията за тях:[tex]\beta (z)=\lim_{n<z} \sum{\frac{1}{2^n } }[/tex].

[Гост]

Виж, аз не знам решението на задачата. Да си призная, не виждам как от последните редове, следва, че бета е непрекъсната при ирационалните и прекъсната при рационалните. Освен това бета е дефинирана върху цялата числова ос, включително и върху ирационалните!

[ptj]

За произволно ирационално [tex]z[/tex].

Да разгледаме една лява негова околност [tex](t;z][/tex].
Понеже [tex]\beta(t)[/tex] e монотонно растяща и ограничена отгоре от [tex]\beta( z)[/tex],
то [tex]\beta(z)-\beta(t)[/tex] e монотонно намаляща и ограничена отдолу от 0.
Тогава [tex]\exist \lim_{t\to z-0}\bigg(\beta(z)-\beta(t)\bigg)=A>0[/tex]
Достатъчно, е да конструираме [tex]\exist \sum_{n \to +\infty}{\frac{1}{2^{a_n} } }<A[/tex]
Очевидно съществува [tex]a_0\in N : \frac{1}{2^{a_0} }<A[/tex]
Тогава е достатъчно [tex]\forall a_n>a_0[/tex].
Наистина може дотолкова да стесним околността [tex](t;z][/tex], че поредните номера на рационалните числа в нея да са по-големи от [tex]a_0[/tex]. Това води до протоворечие с [tex]A>0[/tex], сл. [tex]0=А= \lim_{t\to z-0}\bigg(\beta(z)-\beta(t)\bigg)[/tex] .
Аналогично се доказва и за дясна околност.

[Гост]

Е и . Ние искаме да докажем, че лимита А е нула при ирационалните и по-голям от нула при рационалните.

[ptj]

Объркания символ е [tex]A[/tex], а ограничението за [tex]a_0[/tex] трябва да е :

[tex]\frac{1}{2^{a_0-1} }<A[/tex]

П.П. Пропуснал съм да спомена, че числата [tex]a_n[/tex] са различни.

[Гост]

Ха, Добре! Докарахме я донякъде Да резюмирам. Разглеждайки да кажем лява околност на произволно x, за всеки избор на A>0, знаем че съществува натурално n такова че 1/2^(n+1) < А. Тогава поради факта, че рационалните числа с индеци по-малки от n са краен брой, то заключаваме че съществува околност на x такава, че индеците на всички рационални са по-големи от 1/2^(n+1) т.е. тяхната сума не може да надвишава сбора 1/2^k на ВСИЧКИ естествени по големи от n+1 числа т.е. 1/2^n.

Т.е. изглежда че бета е непрекъсната навсякъде. Защо е прекъсната при рационалните числа?

[Гост]

е индеците на всички рационални са по-големи от 1/2^(n+1)

да се чете "индеците на всички рационални са по-големи от (n+1)"

[Гост]

Ха, ами да! Ако разглеждаш околноста за дадено ирационално, за всеки избор на епсилон съществува околност като посочената по-горе!
Обаче ако избереш рационално, то това рационално притежава някакъв индекс, тоест ако избереш епсилон да е по-малко от това 1/2 на степен индекса му, не съществува околност кооято да дава сума по-малка от това 1/2 на тая степен. Т.е. бета е прекъсната при всяко рационално.(лимита и съществува навсякъде, но при рационалните имаме скок в самата точка)

Т.е. бета, е монотонно нарастваща, т.е. интегруема, непрекъсната за вяко ирационално и прекъсната за всяко рационално. Значи във всяко рационално тя подскача нагоре със 1/2 на степен индекса на това рационално. Нещо като безкрайно малка сълбичка която има съпало при всяко рационално( за някои рационални , например със индекс 0, 1,2, и т.н.) тея стъпала са бая големи.
Благодаря

[drago]

Да, една дяволска стълба.
Освен, че функцията е непрекъсната почти навсякъде е вярно нещо повече. Тя е диференцируема почти навсякъде, т.е. множеството, където не е, има Лебегова мярка нула.
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=562778
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=557471
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=556059

П.П. A защо заглавието е "Топология"?

[Knowledge Greedy]

Топология - това е името на Анализа, от гледна точка на геометрите. Ти също използва геометрично сравнение - стълба