Да се докаже неравенството

[Гост]

Да се докаже : [tex]cos(cosx)\ge sinx[/tex] за всяко реално [tex]x[/tex].

[ptj]

[tex]cos(cosx)\ge sinx\Leftrightarrow sin(\frac{\pi}{2}-cosx)\ge sinx[/tex]

[tex]f(x)=sin(\frac{\pi}{2}-cosx)[/tex] осцилира в [tex][\frac{\pi}{2}-1;1][/tex] и има период [tex]\pi[/tex]

[tex]g(x)=sinx[/tex] осцилира в [-1;1] и има период [tex]2\pi[/tex]

[tex]f(\frac{\pi}{2})=g(\frac{\pi}{2})=1[/tex]

Заради написаното по-горе и [tex]sin(\alpha)=sin(\pi-\alpha)[/tex] можем да разгледаме поведението на [tex]f(x)[/tex] и [tex]g(x)[/tex] само в интервала [tex][-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}][/tex].

При [tex]x\in[-\frac{\pi}{2};0][/tex] e изпълнено [tex]sinx<=0<sin(\frac{\pi}{2}-1)<sin(\frac{\pi}{2}-cosx)[/tex].

При [tex]x\in(0;\frac{\pi}{2})[/tex] e изпълнено [tex]\frac{\pi}{2}-x> sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx \Leftrightarrow \frac{\pi}{2}-cosx>x \Rightarrow

sin(\frac{\pi}{2}-cosx)>sinx[/tex].

Единствено при [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex] имаме [tex]f(x)=g(x)[/tex].

212.bmp (1.2 MiB) Прегледано 225 пъти

[Гост]

Благодаря за изчерпателния отговор.

[pal702004]

[tex]\cos x=u[/tex]

[tex]\cos u \ge \pm \sqrt{1-u^2}[/tex]

[tex]u\in [-1;1] \Rightarrow \cos u>0[/tex]

Достатъчно е да се разгледа [tex]\cos u\ge \sqrt{1-u^2}[/tex]. След повдигане на квадрат получаваме

[tex]u^2+\cos^2 u \ge 1[/tex], което е вярно, тъй като е известно, че [tex]|u|\ge |\sin u|[/tex]