Интервали на монотомност

[Гост]

Здравейте имам следната задача
y = (x-7) / (5x-3)

Трябва да намеря интервалите на монотонност и интервали на вдлъбнатост и изпъкналост.

Може ли да ми кажете как се решава тази задача ?

[Knowledge Greedy]

[tex]y =\frac{x-7}{5x-3}[/tex]

[tex]y =\frac{1}{5}\frac{5x-35}{5x-3}[/tex]

[tex]y =\frac{1}{5}-\frac{32}{5(5x-3)}[/tex]

Сега сравняваме с известната функция "обратна пропорционалност" [tex]y=\frac{1}{x}[/tex] и правим изводите:
- Дадената функция е растяща във всеки от интервалите на дефиниционно и множество [tex](-\infty; 0,6)\cup (0,6; \,\ +\infty)[/tex]
- Дадената функция е изпъкнала в [tex](-\infty; \,\ 0,6)[/tex] (изпъкнала надолу)
и е вдлъбната в [tex](0,6; \,\ +\infty)[/tex] (изпъкнала нагоре)
____________
Сравняването е възможно, тъй като от [tex]y=\frac{1}{x}[/tex] с поредица от геометрични преобразувания може да получим дадената функция и при тези преобразувания знаем как се променят монотонността и изпъкналостта.
____________
Ако задаващият въпросите е очаквал решение с производни, то може и да е по-кратко.
[tex]y'=\frac{32}{(5x-3)^2}>0[/tex] показва, че дадената функция е растяща.
Втората производна
[tex]y''=-\frac{320}{(5x-3)^3}>0[/tex] има положителен знак в [tex](-\infty; \,\ 0,6)[/tex] - тук е изпъкнала;
в интервала [tex](0,6; \,\ +\infty)[/tex] [tex]\Rightarrow y''<0[/tex], което означава, че дадената функция е вдлъбната.

[Гост]

[tex]y =\frac{x-7}{5x-3}[/tex]

[tex]y =\frac{1}{5}\frac{5x-35}{5x-3}[/tex]

[tex]y =\frac{1}{5}-\frac{32}{5(5x-3)}[/tex]

Сега сравняваме с известната функция "обратна пропорционалност" [tex]y=\frac{1}{x}[/tex] и правим изводите:
- Дадената функция е растяща във всеки от интервалите на дефиниционно и множество [tex](-\infty; 0,6)\cup (0,6; \,\ +\infty)[/tex]
- Дадената функция е изпъкнала в [tex](-\infty; \,\ 0,6)[/tex] (изпъкнала надолу)
и е вдлъбната в [tex](0,6; \,\ +\infty)[/tex] (изпъкнала нагоре)
____________
Сравняването е възможно, тъй като от [tex]y=\frac{1}{x}[/tex] с поредица от геометрични преобразувания може да получим дадената функция и при тези преобразувания знаем как се променят монотонността и изпъкналостта.
____________
Ако задаващият въпросите е очаквал решение с производни, то може и да е по-кратко.
[tex]y'=\frac{32}{(5x-3)^2}>0[/tex] показва, че дадената функция е растяща.
Втората производна
[tex]y''=-\frac{320}{(5x-3)^3}>0[/tex] има положителен знак в [tex](-\infty; \,\ 0,6)[/tex] - тук е изпъкнала;
в интервала [tex](0,6; \,\ +\infty)[/tex] [tex]\Rightarrow y''<0[/tex], което означава, че дадената функция е вдлъбната.

[tex]y =\frac{1}{5}\frac{5x-35}{5x-3}[/tex] откъде идва дясната част, y' = (x-7) / (5x-3) = 1/5

[Knowledge Greedy]

[tex]\frac{1}{5}. \frac{5x-35}{5x-3}=\frac{1}{\cancel {5}}\frac{\cancel {5}(x-7)}{5x-3}=\frac{x-7}{5x-3}[/tex] - преобразуването е направено, за да се реши задачата наум.

Под линия е даден втори начин - чрез производни, без предварителни преобразувания. Има ги във всеки учебник. Например тази формула [tex]\left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v^2}[/tex]

[Гост]

[tex]\frac{1}{5}. \frac{5x-35}{5x-3}=\frac{1}{\cancel {5}}\frac{\cancel {5}(x-7)}{5x-3}=\frac{x-7}{5x-3}[/tex] - преобразуването е направено, за да се реши задачата наум.

Под линия е даден втори начин - чрез производни, без предварителни преобразувания. Има ги във всеки учебник. Например тази формула [tex]\left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v^2}[/tex]

Аз за втора производна намирам това :
[tex]\frac{-160}{(5x-3)^3}[/tex]

Тоест първата производна ми показва дали функцията ми е монотонно растяща или намаляща в зависимост от това дали е > или < от 0.
Ако заместим x с единица излиза че е монотонно растяща.

А втората производна ми показва изпъкналост нагоре или надолу спрямо това дали резултата е отрицателен или положителен ?

[Knowledge Greedy]

Изглежда си разбрал