Сходимост на редове ?

[umen]

Да се изследва за сходимост :
\infty
? (3^{n} . n!)/n^{n}
n=1

досещам се да съкратя само n от фактуриела и долу от степента долу да се получи съответно (n-1)! i n^{n-1}

[Добромир Глухаров]

[tex]a_n=\frac{3^n.n!}{n^n}[/tex]

[tex]\frac{a_{n+1}}{a_n}=3.(n+1).\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}=3.\frac{n^n}{(n+1)^n}=[/tex]

[tex]=3.\(1-\frac{1}{n+1}\)^n=3.\(1-\frac{1}{n+1}\)^{n+1}.\(1-\frac{1}{n+1}\)^{-1}[/tex]

[tex]\lim_{n \to +\infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3}{e}>1 \Rightarrow[/tex] е разходящ.

Използва се, че [tex]\lim_{n \to +\infty }\(1-\frac{1}{n+1}\)^{n+1}=\lim_{n \to +\infty}\frac{\(1-\frac{1}{(n+1)^2}\)^{n+1}}{\(1+\frac{1}{n+1}\)^{n+1}}=\frac{1}{e}[/tex]

[umen]

Добромир Глухаров, отново ти благодаря. Чувствам се задължен за подробното решение.