Висша математика - 2 част

[empire66]

Здравейте,може ли последно да ми помогнете със тези задачи :

1. Определете инт.на монотоност и екст.точки,ако има такава на функцията

y= [tex]\frac{e^2x}{1-3x}[/tex] (2x e е заедно отгоре)

2.Изследвайте за лок екстр.функцията

z= 1-7x-[tex]x^{2} + xy^{2} - y^{2}[/tex]

3.Решете неопр. интеграли

а) [tex]\int 5^{cos2x} sin2xdx[/tex]

б) [tex]\int(2x-1) e^{3x}dx[/tex]

в) [tex]\int \frac{\sqrt{x}}{4+x} dx[/tex]

4. Решете опр. интеграли

а)[tex]\int\limits_{0}^{п/2} sinx^{2}x + cosxdx[/tex]

б) [tex]\int\limits_{1}^{2} \frac{x+1}{x^{2}-2x+2} dx[/tex]

[Nathi123]

4.зад. I=[tex]\int\limits_{1}^{2}\frac{x+1}{x^{2}-2x+2}dx[/tex]. Нека x-1=t,тогава dx=dt,x+1=t+2,[tex]x^{2}[/tex]-2x+2=[tex]t^{2}[/tex]+1,t[tex]\in[/tex][0,1]. I=[tex]\int\limits_{0}^{1}\frac{t+2}{t^{2}+1}dt[/tex]=[tex]\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}\frac{2tdt}{t^{2}+1}[/tex] +2 [tex]\frac{dt}{t^{2}+1}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex]ln2+[tex]\frac{\pi}{2}[/tex].

[Nathi123]

3.зад а) [tex]\int5^{cos2x}sin2xdx[/tex]= -[tex]\frac{1}{2}\int5^{cos2x}dsin2x[/tex]=-[tex]\frac{1}{2ln5}5^{cos2x}[/tex] +C.

[Nathi123]

3.зад. в) I= [tex]\int\frac{\sqrt{x}}{4+x}dx[/tex]. [tex]\sqrt{x}[/tex]=t,x=[tex]t^{2}[/tex] dx=2tdt I = [tex]\int\frac{2t.tdt}{4+t^{2}}[/tex] = 2[tex]\int\frac{(t^{2}+4-4)dt}{t^{2}+4}[/tex]=2[tex]\int dt[/tex]-8[tex]\int\frac{dt}{t^{2}+4}[/tex]=2t-2 [tex]\int\frac{dt}{1+\frac{t}{4}^{2}}[/tex]=2t-4[tex]\int\frac{d\frac{t}{2}}{1+\frac{t^{2}}{4}}[/tex]=2t-4arctg[tex]\frac{t}{2}[/tex] + C = 2[tex]\sqrt{x}[/tex]-4arctg[tex]\frac{\sqrt{x}}{2}[/tex] + C.

[Nathi123]

3.зад. б) [tex]\int(2x-1)e^{3x}dx[/tex]=[tex]\frac{1}{3}\int(2x-1)de^{3x}[/tex] = [tex]\frac{(2x-1)e^{3x}}{3}-\frac{1}{3}\int2.e^{3x}dx[/tex] =[tex]\frac{(2x-1).e^{3x}}{3}[/tex] - [tex]\frac{2}{9}.e^{3x}[/tex] +C (използваме интегриране по части).

[Nathi123]

1.зад. y = [tex]\frac{e^{2x}}{1-3x}[/tex] , x[tex]\ne\frac{1}{3}[/tex] . y'= [tex]\frac{2e^{2x}(1-3x)+3e^{2x}}{(1-3x)^{2}}[/tex] или y'= [tex]\frac{e^{2x}(5-6x)}{(1-3x)^{2}}[/tex] . y'= 0 при x = [tex]\frac{5}{6}[/tex] , [tex]\frac{e^{2x}}{(1-3x)^{2}}[/tex] >0 за всяко х [tex]\ne\frac{1}{3}[/tex]. Следователно знакът на производната зависи от знака на 5 - 6x. При х > [tex]\frac{5}{6}[/tex] y'< 0 и при x< [tex]\frac{5}{6}[/tex] y'>0. Т.е. в точката х = [tex]\frac{5}{6}[/tex] функцията има локален максимум.Лявата граница на у при х клонящо към [tex]\frac{1}{3}[/tex] e [tex]\infty[/tex], а дясната -[tex]\infty[/tex],затова екстремумът е локален и y([tex]\frac{5}{6}[/tex])= - [tex]\frac{2.e^{\frac{5}{3}}}{3}[/tex].

[Добромир Глухаров]

2.Изследвайте за лок екстр.функцията [tex]z=1-7x-x^2+xy^2-y^2[/tex]

Решение:

Най-напред намираме първите частни производни и ги приравняваме на [tex]0[/tex]

[tex]\begin{array}{|l}\frac{\partial z}{\partial x}=-7-2x+y^2=0\\\frac{\partial z}{\partial y}=2xy-2y=0\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}y^2-2x-7=0\\2y(x-1)=0\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}y=0\\x=-\frac{7}{2}\end{array}\cup\begin{array}{|l}x=1\\y=\pm 3\end{array}[/tex]

Критични точки: [tex]A\left(-\frac{7}{2};0\right),\ B(1;3),\ C(1;-3)[/tex]

[tex]\frac{\partial^2z}{\partial x^2}=-2[/tex]

[tex]\frac{\partial^2z}{\partial y^2}=2x-2[/tex]

[tex]\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=2y[/tex]

[tex]\Delta_{x,y}=\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\cdot\frac{\partial^2z}{\partial y^2}-\left(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}\right)^2=-2(2x-2)-4y^2=4-4x-4y^2[/tex]

Точки [tex]B[/tex] и [tex]C[/tex]:

[tex]\Delta_{1;y}=4-4-4y^2<0\ (y=\pm 3)[/tex] - няма екстремуми.

Точка [tex]A[/tex]:

[tex]\Delta_{-\frac{7}{2};0}=4\left(1+\frac{7}{2}\right)=18>0[/tex] - има екстремум.

[tex]\frac{\partial^2z\left(-\frac{7}{2};0\right)}{\partial x^2}<0\Rightarrow[/tex] екстремумът е максимум.

[tex]z_{max}=z\left(-\frac{7}{2};0\right)=1+\frac{49}{2}-\frac{49}{4}=1+\frac{49}{4}=\frac{53}{4}[/tex]