Обратни функции

[Гост]

[tex]arccos(4x^{3}-3x)\begin{cases} 3arccosx, \frac{1}{2}\le x\le1\\ 2\pi-3arccosx,\frac{-1}{2}\le x \le \frac{1}{2} \\-2\pi+3arccosx,-1\le x \le \frac{-1}{2}\end{cases}[/tex]

[Гост]

И какво се иска?

[Гост]

Да докажа, че [tex]arccos(4x^{3}-3x)[/tex] е равно на другите, когато x е в дадения интервал.

[ptj]

Положи [tex]x=cos t[/tex] и използвай формулата за косинус на троен ъгъл.

[Гост]

Не питам тук, за да не си мърдам пръста.Имам доказателство, но не съм сигурен дали е правилно... Искам един от трите случая да ми направите, ако е възможно, а другите си се решават по същият начин.

[ptj]

Дадох ти напълно разбираеми указания. Разделянето с дадените 3 функции (десните страни) може да се направи по произволен начин, стига обединението да покрива целия интервал [tex][-1;1][/tex].
Просто е записано по друг начин, че [tex]cos(t)=cos(-t)=cos(2\pi-t)=cos(-2\pi+t)[/tex].

[Nathi123]

Нека [tex]\alpha = arccosx\Rightarrow x= cos\alpha[/tex],като cos[tex]\alpha[/tex] e обратима функция,ако [tex]\alpha\in[0,\pi][/tex],също cos 3[tex]\alpha[/tex] e обратима,ако 3[tex]\alpha\in[0,\pi][/tex] . 1. сл. [tex]x \in[\frac{1}{2},1][/tex] [tex]\Rightarrow \alpha\in[0,\frac{\pi}{3}]\Rightarrow3\alpha\in[0,\pi][/tex]. Тогава cos3[tex]\alpha=4cos^{3}\alpha - 3cos\alpha = 4x^{3}-3x[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]arcos(4x^{3}-3x) = 3arccosx[/tex] .
2. сл. [tex]x\in[-\frac{2}{2},\frac{1}{2}\Rightarrow\alpha\in[\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]\Rightarrow 3\alpha\in[\pi,2\pi][/tex] [tex]\Rightarrow 2\pi -3\alpha\in[0,\pi][/tex] и от
cos( 2[tex]\pi - 3\alpha) = cos3\alpha\Rightarrow arccos(cos(2\pi-3\alpha))=2\pi-3\alpha=2\pi-3arccosx[/tex] [tex]\Rightarrow arccos( 4x^{3}-3x)[/tex] = [tex]2\pi - 3arccosx[/tex]. Другият случай се разглежда по аналог. начин.