Задача с arc

[melda.h]

arcsin[tex]\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}[/tex] = arccos[tex]\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}[/tex] при x >= 0
arcsin[tex]\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}[/tex] = pi - arccos[tex]\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}[/tex] при x<0

[Nathi123]

Нека [tex]\alpha = arcsin\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \Rightarrow sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}[/tex] От sin[tex]^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1 \Rightarrow cos\alpha = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}[/tex] ( x[tex]\ge 0[/tex]) [tex]\Rightarrow arccos (cos\alpha) = \alpha =arccos\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} \Rightarrow arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} = arccos \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}[/tex] . Аналогично се доказва второто равенство и се използва още,че cos([tex]\pi -\alpha ) = - cos\alpha[/tex].

[melda.h]

А как по-точно ще се използва, че cos(π−α)= -cos[tex]\alpha[/tex]

[Nathi123]

При x<0[tex]\Rightarrow cos\alpha =-\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}[/tex][tex]\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} = - cos\alpha = cos( \pi -\alpha )\Rightarrow arccoscos(\pi - \alpha) = arccos\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}[/tex][tex]\Rightarrow \pi - \alpha = arccos\frac{x}{1+x^{2}}\Rightarrow \alpha = \pi - arccos\frac{x}{1+x^{2}}[/tex]