Скаларно произведение

[justme.h]

Даден е триъгълник АВС, за който (CA) ⃗=a ⃗ и (CB) ⃗=b ⃗. Нека |a ⃗ |=2,|b ⃗ |=3,∢(a ⃗,b ⃗ )= γ. Медианите АА1 и ВВ1 на триъгълника са взаимно перпендикулярни. Да се определи cos γ.

[Nathi123]

По условие AA[tex]_{1 }\bot BB_{1 }\Rightarrow \vec{AA_{1 }}.\vec{BB_{1 }} = 0[/tex]. От[tex]A_{1 }[/tex] - среда на ВС
[tex]\Rightarrow\vec{AA_{1 }}=\frac{1}{2}(\vec{AC}+\vec{AB})[/tex],[tex]\vec{AB}= \vec{CB}-\vec{CB}=\vec{b}-\vec{a}[/tex] (по условие [tex]\vec{CA}=\vec{a}[/tex] и [tex]\vec{CB}= \vec{b}[/tex]) [tex]\Rightarrow \vec{AA_{1 }}=\frac{1}{2}( \vec{b}-2\vec{a})[/tex].Аналогично ,ако B[tex]_{1 }[/tex] e среда на АС ,то [tex]\vec{BB_{1 }}=\frac{1}{2}(\vec{BA}+\vec{BC}) = \frac{1}{2}( \vec{a}-2\vec{b}) ( \vec{BA} = \vec{a} - \vec{b})\Rightarrow
\vec{AA_{1 }}.\vec{BB_{1 }} =\frac{1}{2}(\vec{b}-2\vec{a})\frac{1}{2}(\vec{a}-2\vec{b}) =0[/tex][tex]\Rightarrow \vec{a}.\vec{b}-2\vec{a}^{2}-2\vec{b}x^{2} + 4\vec{a}.\vec{b}=0\Rightarrow 5\vec{a}.\vec{b} = 2(\vec{a}^{2} + \vec{b}^{2})[/tex] [tex]\Rightarrow І\vec{a}І[/tex].[tex]І\vec{b}[/tex]Іcos[tex]\gamma[/tex] = 2 (І [tex]\vec{a}І^{2}[/tex]+ І[tex]\vec{b}І^{2})[/tex] [tex]\Leftrightarrow 5.2.3cos\gamma =2(4+9)\Leftrightarrow cos\gamma =\frac{13}{15}[/tex].

[justme.h]

Благодаря!