Комплексни числа

[justme.h]

Да се запише в алгебричен вид числото: ( [tex]\frac{2\sqrt{3} + 10i}{6\sqrt{3} + 2i}[/tex] ) ^ 172

[Nathi123]

z=[tex]( \frac{2\sqrt{3}+10i}{6\sqrt{3}+2i})^{172}=(\frac{\sqrt{3}+5i}{3\sqrt{3}+i})^{172}[/tex] Умножаваме числителя и знаменателя в скобите с [tex]3\sqrt{3}-i[/tex] [tex]\Rightarrow z=( \frac{14(1+\sqrt{3}i)}{28})^{172}[/tex] [tex]z = ( \frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{172}=( cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3})^{172}[/tex][tex]\Rightarrow z= cos\frac{172\pi}{3}+isin\frac{172\pi}{3}=cos(56\pi+\frac{4\pi}{3})+isin(56\pi+\frac{4\pi}{3})[/tex]
[tex]\Rightarrow z= cos(\pi+\frac{\pi}{3})+isin (\pi+\frac{\pi}{3})=-cos\frac{\pi}{3}- isin\frac{\pi}{3}

\Rightarrow z= - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i[/tex]