Граница

[justme.h]

[tex]\lim_{n \to \infty}\sqrt[3]{27n^3 - 1} - 3n[/tex]
[tex]\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{1 + x + \frac{x^2}{2}}[/tex] при х>0

Някой може ли да ми помогне със задачите и да каже как се решават такъв тип задачи? Много ще съм му благодарна.

[Гост]

може

[Knowledge Greedy]

[tex]L= \lim_{n \to \infty} \left ( \sqrt[3]{27n^3-1}-3n \right )=\lim_{n \to \infty} \frac{\left ( \sqrt[3]{27n^3-1}-3n \right )\left [ \left ( \sqrt[3]{27n^3-1}\right )^2+3n \sqrt[3]{27n^3-1}+9n^2 \right ]}{\left ( \sqrt[3]{27n^3-1}\right )^2+3n \sqrt[3]{27n^3-1}+9n^2}[/tex]

[tex]L= \lim_{n \to \infty}\frac{-1}{\left ( \sqrt[3]{27n^3-1}\right )^2+3n \sqrt[3]{27n^3-1}+9n^2}=0[/tex], тъй като числителят е [tex]\left ( \sqrt[3]{27n^3-1} \right )^3-(3n)^3=-1[/tex]

На втората задача, с така поставеното условие, границата е [tex]1[/tex]-ца. По-интересна ще бъде, ако някъде под корена има [tex]n[/tex]

[justme.h]

И как се получава 1 ? Как се решават такива задачи?

[Knowledge Greedy]

Доказване с [tex]\epsilon[/tex]-дефиницията.
Нека подкоренната величина е [tex]a[/tex]. За начало нека [tex]a>1[/tex]. Това ни дава определеност за [tex]\sqrt[n]{a}>1[/tex]
[tex]a=\left ( \sqrt[n]{a} \right )^n[/tex]
Вкарваме хипотетичната граница [tex]1[/tex] при [tex]\sqrt[n]{a}[/tex]
[tex]a= \left ( 1+ \left (\sqrt[n]{a} -1 \right ) \right)^n[/tex]
Последната степен оценяваме с част от нютоновия бином или с неравенство на Бернули (заради [tex]a>1[/tex] неравенството е строго) [tex]\left ( 1+ \left (\sqrt[n]{a} -1 \right ) \right)^n>1+n \left (\sqrt[n]{a} -1 \right )[/tex]
Дотук
[tex]a>1+n \left (\sqrt[n]{a} -1 \right )[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\left (\sqrt[n]{a} -1 \right )<\frac{a-1}{n}[/tex]
Сега може да завършим с [tex]\epsilon[/tex]-дефиницията, може и направо да изведем: - след като редицата с положителни членове [tex]\left \{\sqrt[n]{a} -1 \right \}^{\infty}_{n=1}[/tex] е мажорирана от б.м. редица [tex]\left \{ \frac{a-1}{n} \right \}^{\infty}_{n=1}[/tex], то и самата тя е б.м.р. , т.е. [tex]\lim_{n \to \infty }\left (\sqrt[n]{a} -1 \right )=0[/tex]
Значи [tex]\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a} = 1[/tex]

Случаите [tex]a=1[/tex] и [tex]0<a<1[/tex] са значително по-леки.