Равенство

[Гост]

Да се намерят в алгебричен вид корените на уравнението [tex]x^{2}+(6+4i)x+(10+24i)=0[/tex]

[Гост]

Намирам D, обаче тя е -20-48i и не знам как да продължа

[Добромир Глухаров]

Може с $D$, но по-лесно е със съкратената дискриминанта $D_1=(3+2i)^2-(10+24i)=9-4-10+12i-24i=-5-12i=4-2.2.3.i-9=2^2-2.2.(3i)+(3i)^2=(2-3i)^2$

$x_{1,2}=-3-2i\pm(2-3i)$

$x_1=-3+2-2i-3i=-1-5i$
$x_2=-3-2-2i+3i=-5+i$

[Гост]

[tex]x^2+(6+4i)x+(10+24i)=0[/tex]
[tex]D=(3+2i)^2-10-24i=9-4+12i-10-24i=-5-12i[/tex] - ако е съкратената
[tex]D=-20-48i[/tex] - обикновената
Пишем формулата за корените на квадратното уравнение и получаваме
[tex]x_1=-5+i[/tex]
[tex]x_2=-1-5i[/tex]

Да отбележим, че
[tex]\sqrt{D}=-2+3i[/tex], защото [tex](-2+3i)^2=-5-12i[/tex]
Обърни внимание, че и формулите на Виет са изпълнени:
[tex]x_1+x_2=-6-4i[/tex]
[tex]x_1+x_2=(-5+i)(-1-5i)=5+5+25i-i[/tex]

[Knowledge Greedy]

В тази задача коренуването на дискриминантата може да стане и така.
[tex]D=-5-12i=13 \left (-\frac{5}{13}-\frac{12}{13}i \right )= 13 (cos\varphi +isin \varphi)[/tex],
където [tex]\varphi[/tex] е аргументът на комплексното число [tex]D[/tex], а [tex]13[/tex] е неговият модул.
По формулата на Моавър [tex]\sqrt{D}=\sqrt{13}\left (cos \frac{\varphi}{2}+isin \frac{\varphi}{2} \right ) \,\ \,\ (\ast)[/tex]
Понеже
[tex]\begin{array}{|l} cos \varphi =- \frac{5}{13} \\ sin \varphi =- \frac{12}{13} \end{array}[/tex],
а
[tex]sin^2 \frac{\varphi}{2}=\frac{1-cos\varphi}{2}=\frac{9}{13} \,\ \Rightarrow \,\ sin \frac{\varphi}{2}= \frac{3}{\sqrt{13}}[/tex]
и
[tex]cos^2 \frac{\varphi}{2}=\frac{1+cos\varphi}{2}=\frac{4}{13} \,\ \Rightarrow \,\ cos \frac{\varphi}{2}=- \frac{2}{\sqrt{13}}[/tex],
то замествайки в [tex]\,\ (\ast)[/tex]
получаваме [tex]\sqrt{D}=-2+3i[/tex]
__________
За знаците на реалната и имагинерна части, трябва да съобразим в кой квадрант се намира второто рамо на ъгъла [tex]\frac{\varphi}{2}[/tex] в зависимост от местоположението на второто рамо на ъгъл [tex]\varphi[/tex].

[Гост]

Мерси адски много !

[Гост]

Мерси адски много !