Делимост на 30

[Гост]

Здравейте,
Задачата е да се докаже че [tex]143229^{5} + 286458^{5} + 429687^{5} + 572916^{5} + 716145^{5} + 859374^{5} + 1002603^{5} + 1145832^{5} + 1289076^{5}[/tex] се дели на 30. Нямам идея как става, а подобна задача щяло да има на контролната...

[Добромир Глухаров]

$30=2.3.5$

$143229\equiv 1(mod\ 2)\equiv 0(mod\ 3)\equiv 4(mod\ 5)$
$143229^5\equiv 1(mod\ 2)\equiv 0(mod\ 3)\equiv 4(mod\ 5)$

Тук се използва Малката теорема на Ферма ( за сравнимостта по модул 5 ):

$a^n\equiv a(mod\ n)$

$286458\equiv 0(mod\ 2)\equiv 0(mod\ 3)\equiv 3(mod\ 5)$
$286458^5\equiv 0(mod\ 2)\equiv 0(mod\ 3)\equiv 3(mod\ 5)$

Така и за другите пети степени. Накрая събираме остатъците по модул 2 - получаваме кратно на 2, събираме остатъците по модул 3 - получаваме кратно на 3, събираме остатъците по модул 5 - получаваме кратно на 5.

Значи сумата се дели на 2,3,5 - прости числа, значи се дели на 2.3.5=30

[Гост]

x^{y}Можеш ли само да ми напишеш по-подробно как използваш теоремката на Ферма... само това не можах да разбера ?

[Добромир Глухаров]

$a^n\equiv a(mod\ n)$
$n=5\Rightarrow a^5\equiv a(mod\ 5)$

$143229^5\equiv 143229\equiv 4(mod 5)$

За остатъците по модул 2 и 3 не се използва Малката теорема на Ферма, а признаците за делене на 2 - остатъкът е 1, ако последната цифра е четна, и 0, ако е нечетна; и за 3 - остатъкът е равен на остатъка от делението на сумата от цифрите на числото на 3.

Когато степенуваме, умножаваме остатъка от предходната степен, за всяка следваща степен, по остатъка на първата степен.

$143229^5\equiv 4^5\equiv 1024\equiv 4(mod\ 5)$

[Гост]

Какво по-подробно искаш?!?
Човекът ти е написал
[tex]a^n\equiv a(mod \,\ n)[/tex]

[tex]a=143229[/tex]
[tex]n=5[/tex]

Значи [tex]143229^5\equiv 143229 (mod \,\ 5)[/tex],
а последното число дава остатък [tex]4[/tex] при деление на [tex]5[/tex], т.e. [tex]143229 \equiv 4(mod \,\ 5)[/tex]