Степени

[Гост]

Да се докаже за всяко естествено число n [tex]41^{2}|87^{n+1}+(41n-87)128^{n}[/tex]
Моля за помощ....

[Гост]

Наистина ми трябва много спешно ...Моля ви !

[Гост]

Какво ниво? Клас, курс?

[Knowledge Greedy]

Да означим числата от вида [tex]87^{n+1}+(41n-87).128^n[/tex] с [tex]a_n[/tex]
Ето първите три члена на редицата.

Спешната задача 14 декември.png (2.34 KiB) Прегледано 195 пъти

Получава се наистина цяло деление на [tex]41^2[/tex] - без остатък.
Да повишим реда на формулата
[tex]a_n=87^{n+1}+(41n-87).128^n[/tex] [tex]\,\ \,\ (\ast)[/tex]

[tex]a_{n+1}=87^{n+2}+(41(n+1)-87).128^{n+1}[/tex] [tex]\,\ \,\ (2)[/tex]
Умножаваме равенството [tex](\ast)[/tex] по [tex]128[/tex] и изваждайки почленно от (2) намираме

[tex]a_{n+1}-128a_n=-41.87^{n+1}+41.128^{n+1}[/tex] [tex]\,\ \,\ (3)[/tex]

Повишаваме реда на (3)
[tex]a_{n+2}-128a_{n+1}=-41.87^{n+2}+41.128^{n+2}[/tex] [tex]\,\ \,\ (4)[/tex]

Умножаваме равенството [tex](3)[/tex] по [tex]128[/tex] и изваждайки почленно от (4) намираме

[tex]a_{n+2}-256a_{n+1}+128^2a_n=41^2.87^{n+1} \,\ \,\ (5)[/tex]

Представяме във вида
[tex]a_{n+2}=256a_{n+1}-16384a_n+41^2.87^{n+1} \,\ \,\ (\ast\ast)[/tex]
и вече можем да разсъждаваме по индукция, с база направена на първите два реда от таблицата в началото.

[Гост]

Оооофф, как не съм се сетил ... Мерси ..