arccos

[Гост]

Условието е да се докаже, че [tex]3arccosx-arccos(3x-4x^{3})=\pi |x|\le\frac{1}{2}[/tex]

[Гост]

Получавам [tex]6\alpha=\pi[/tex] и от там нататък не знам какво да правя ....

[Гост]

Тази задача я получих, но изникна проблем със друга, а там нищо не ми иджа на акъла :
[tex]arctg\frac{1-x}{1+x}\le\frac{1}{\sqrt{x}}-1[/tex] като [tex]0<x\le1[/tex]

[Добромир Глухаров]

$f(x)=arctg{\frac{1-x}{1+x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}+1$

$f(+0)=-\infty;\ f(1)=0$

$f'(x)=\frac{\frac{-1-x-1+x}{(1+x)^2}}{1+\frac{(1-x)^2}{(1+x)^2}}+\frac{1}{2\sqrt{x^3}}=\frac{-2}{(1+x)^2+(1-x)^2}+\frac{1}{2\sqrt{x^3}}=\frac{-2\sqrt{x^3}+1+x^2}{2\sqrt{x^3}(1+x^2)}$

$x\in(0;1]\Rightarrow \sqrt{x^3}<x$

$\Rightarrow \frac{-2\sqrt{x^3}+1+x^2}{2\sqrt{x^3}(1+x^2)}>\frac{-2x+1+x^2}{2\sqrt{x^3}(1+x^2)}=\frac{(1-x)^2}{2\sqrt{x^3}(1+x^2)}>0$

Следователно $f(x)$ е монотонно растяща за $x\in(0;1]$

$\Rightarrow f(x)\le 0;\ x\in(0;1]$