Интервали на изпъкналост и вдлъбнатост

[Гост]

Здравейте имам нужда от помощ за една задача. Условието е да се намерят интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост. Стигам само до намирането на първата производна и след това зацепвам. Много моля ако някой може да ми отдели малко време и да покаже как се решава

а ето я и задачата: f(x)=ln(x^{2} + 1)

[Knowledge Greedy]

[tex]f(x)=ln(x^{2} + 1)[/tex]

[tex]f'(x)=\frac{2x}{x^{2} + 1}[/tex]

[tex]f''(x)=\frac{2(x^{2} + 1)-4x^2}{(x^{2} + 1)^2}=\frac{1-2x^2}{(x^{2} + 1)^2}[/tex]

Инфлексните точки се намират от условието
[tex]f''(x)=0 \,\ \Leftrightarrow \,\ 1-2x^2=0[/tex]
[tex]x_{1,2}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
Когато [tex]f''(x)[/tex] запазва знака си, функцията [tex]f(x)[/tex] изявява свойството си изпъкналост или вдлъбнатост.
[tex]f''(x)>0 \,\ \Leftrightarrow \,\ x\in \left (-\infty;-\frac{\sqrt{2}}{2} \right ) \cup \left ( \frac{\sqrt{2}}{2}; +\infty \right )[/tex] -във всеки от тези два интервала функцията [tex]f(x)[/tex] е изпъкнала.
В интервала [tex]\left (- \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right )[/tex] функцията [tex]f(x)[/tex] е вдлъбната. За всяко [tex]x[/tex] от този интервал имаме [tex]f''(x)<0[/tex], т.е. в този интервал производната е запазила знака си отрицателен.