Затруднение с определени и неопределени интаграли

[vilyo]

Здравейте.Изпитвам затруднения по решаването на 3 задачи.Бих се радвал,ако някой ми помогне с решенията и обяснения ред по ред ,защото искам да разбера къде ми е грешката.Благодаря предварително

analiz.PNG (4.03 KiB) Прегледано 404 пъти

[Добромир Глухаров]

Първият интеграл е: $\int\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}-\frac{x+1}{\sqrt[4]{x^3}}\right)dx$

Подинтегралната функция $f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}-\frac{x+1}{\sqrt[4]{x^3}}$ е разлика от две дроби. Във втората дроб числителят е сума от два едночлена, а знаменателят е едночлен. Преобразуваме втората дроб, представяйки я като сума от две дроби: $\frac{x+1}{\sqrt[4]{x^3}}=\frac{x}{\sqrt[4]{x^3}}+\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$.
Така за подинтегралната функция $f(x)$ получаваме $f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}-\frac{x}{\sqrt[4]{x^3}}-\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$. Сега във всяко събираемо-дроб знаменателят е корен (радикал), с коренен показател $3$ или $4$ и подкоренна величина - степен на $x$. Представяме тези радикали като степени на $x$ със степенен показател - дробно число. $\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}$ $\sqrt[4]{x^3}=x^{\frac{3}{4}}$.
Така за $f(x)$ получаваме $f(x)=\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}-\frac{x}{x^{\frac{3}{4}}}-\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$. Представяме единиците в числител като степени на $x$ с нулев степенен показател и прилагаме правилото за делене на степени с равни основи. $f(x)=\frac{x^0}{x^{\frac{2}{3}}}-\frac{x^1}{x^{\frac{3}{4}}}-\frac{x^0}{x^{\frac{3}{4}}}=x^{0-\frac{2}{3}}-x^{1-\frac{3}{4}}-x^{0-\frac{3}{4}}=x^{-\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{4}}-x^{-\frac{3}{4}}$.

Сега вече интегрираме тази сума от степени почленно: $\int\left(x^{-\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{4}}-x^{-\frac{3}{4}}\right)dx=\int x^{-\frac{2}{3}}dx-\int x^{\frac{1}{4}}dx-\int x^{-\frac{3}{4}}dx$

За интегриране на степен на независимата променлива $x$ си има формула: $\int x^m dx=\frac{x^{m+1}}{m+1}+C;\ m,C\in\mathbb{R}$, където $C$ е интеграционната константа, която е произволно реално число, неизменящо се в зависимост от $x$.

$\int f(x)dx=\int x^{-\frac{2}{3}}dx-\int x^{\frac{1}{4}}dx-\int x^{-\frac{3}{4}}dx=$

$=\frac{x^{-\frac{2}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1}-\frac{x^{\frac{1}{4}+1}}{\frac{1}{4}+1}-\frac{x^{-\frac{3}{4}+1}}{-\frac{3}{4}+1}+C=$

$=\frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}}-\frac{x.x^{\frac{1}{4}}}{\frac{5}{4}}-\frac{x^{\frac{1}{4}}}{\frac{1}{4}}+C=$

$=3\sqrt[3]{x}-\frac{4}{5}\cdot x\cdot\sqrt[4]{x}-4\sqrt[4]{x}+C$

Накрая сме представили степените отново като радикали.

[Добромир Глухаров]

За втория интеграл: $\int\frac{1}{\sqrt{x}cos^2(\sqrt{x})}dx=\int\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}dx}{cos^2(\sqrt{x})}$ използваме следната постановка:

Производната на една функция $f(x)$ по определение е $f'(x)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.

Това условно можем да запишем така: $f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\frac{df(x)}{dx}$

Оттук $df(x)=f'(x)dx$.

В задачата $f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\Rightarrow f(x)=\int df(x)=\int\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\int x^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C=2\sqrt{x}+C$

$f'(x)dx=df(x)\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}dx=d(2\sqrt{x}+C)=d(2\sqrt{x})+d(C)=d(2\sqrt{x})+(C)'_xdx=d(2\sqrt{x})+0=d(2\sqrt{x})$

В нашия интеграл заместваме числителя с равното му: $\int\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}dx}{cos^2(\sqrt{x})}=\int\frac{d(2\sqrt{x})}{cos^2(\sqrt{x})}$ и изнасяме двойката от диференциала пред интеграла: $2\int\frac{d(\sqrt{x})}{cos^2(\sqrt{x})}$.

Получихме интеграл от вида: $\int\frac{du}{cos^2 u}$, който се оказва табличен. $\int\frac{du}{cos^2 u}=tg u+C\Rightarrow 2\int\frac{d(\sqrt{x})}{cos^2(\sqrt{x})}=2tg{\sqrt{x}}+C$

[Добромир Глухаров]

За последния интеграл (той се нарича определен) използваме формулата на Нютон-Лайбниц: $\int\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a);\ F'(x)=f(x)\Rightarrow F(x)=\int f(x)dx+C$, където няма значение колко точно е $C$, стига да не зависи от $x$.

$F(x)=\int cosx.2^{sinx}dx$ - Трябва да намерим една $F(x)$ - примитивна на $f(x)$

Най-напред внасяме $cosx$ под знака на диференциала: $\int cosx.2^{sinx}dx=\int 2^{sinx}dsinx$, понеже производната на синус е косинус, следователно $\int cosxdx=sinx+C$ - примитивната на косинус е синус.

Имаме $\int 2^{sinx}dsinx$, т.е. $\int 2^udu$ - табличен. $\int 2^udu=\frac{2^u}{ln2}+C\Rightarrow F(x)=\int 2^{sinx}dsinx=\frac{2^{sinx}}{ln2}+C$

$\int\limits_0^2 cosx.2^{sinx}dx=F(2)-F(0)=\frac{2^{sin2}}{ln2}-\frac{2^{sin0}}{ln2}=\frac{2^{sin2}-2^0}{ln2}=\frac{2^{sin2}-1}{ln2}$

Краткият запис на решението е: $\int\limits_0^2 cosx.2^{sinx}dx=\int\limits_0^2 2^{sinx}dsinx=\frac{2^{sinx}}{ln2}|_0^2=\frac{2^{sin2}}{ln2}-\frac{2^{sin0}}{ln2}=\frac{2^{sin2}-1}{ln2}$

[vilyo]

Благодаря ти от сърце!