Сходимост на интеграл.

[Гост]

Дали ако $f(x):[0,\infty) \to [0,\infty)$ и $\int_0^\infty f(x)dx <\infty$, то $f(x)/x \to 0,$ при $ \ \ x \to \infty?$

[Гост]

Грешка. Въпросът е дали $xf(x) \to 0$, $x \to \infty$

[drago]

Отговорът е НЕ. Нито $f(x)/x$ , а още по-малко $x\cdot f(x)$ са задължени да клонят към 0, когато $x\to\infty$.
Като пример можеш да си представи графиката на $f$ да върви по абцисната ос, когато $x$ расте и от време на време да прави пикове, които стават все по-тънки и по-високи, така че сумата от лицата им да остава ограничена.