Да се намери формула

[justme.h]

За всяка от следните редици да се намери явна формула за общия член:
1) a_(n+1) = [tex]\sqrt[3]{4 (a_n) ^ 3 + 129}[/tex] за всяко n >=0, a_0 = 5 ;
2) b_(n+1) = 6 (b_n) ^ 7 за всяко n >=0, b_0 = 36 ;
Упътване: Използвайте подходящи полагания.

[Добромир Глухаров]

$1.)\ a_{n+1}=\sqrt[3]{4a_n^3+129}\\
a_0=5\Rightarrow a_1=\sqrt[3]{4.5^3+129}=\sqrt[3]{629}\\
a_{n+1}^3=4a_n^3+129\\
b_n=a_n^3\Rightarrow b_0=a_0^3=125;\ b_1=a_1^3=629\\
\fbox{b_{n+1}=4b_n+129}$
Полагаме $b_n=c_n+k\Rightarrow c_{n+1}+k=4(c_n+k)+129\Rightarrow c_{n+1}=4c_n+3k+129$
$3k+129=0\Rightarrow k=-43$
$c_n=b_n-k=b_n+43;\ c_0=b_0+43=168;\ c_1=b_1+43=672$
$\fbox{c_{n+1}=4c_n}$
$c_n=c_0.4^n=168.4^n\\
b_n=c_n+k=168.4^n-43\\
\fbox{a_n=\sqrt[3]{b_n}=\sqrt[3]{168.4^n-43}}$

[Добромир Глухаров]

$2.)\ b_{n+1}=6b_n^7\\
b_0=36=6^2;\ b_1=6.b_0^7=6.(6^2)^7=6^{1+2.7}=6^{15}$
$\fbox{b_n=6^{c_n}}$
$c_0=2;\ c_1=15$
$6^{c_{n+1}}=6.(6^{c_n})^7\\6^{c_{n+1}}=6^{7c_n+1}\\c_{n+1}=7c_n+1\\\fbox{c_n=d_n+l}\Rightarrow d_{n+1}+l=7d_n+7l+1$
$6l+1=0\Rightarrow l=-\frac{1}{6}\Rightarrow c_n=d_n-\frac{1}{6}\Rightarrow d_n=c_n+\frac{1}{6}\Rightarrow d_0=2\frac{1}{6};\ d_1=15\frac{1}{6}$
$d_{n+1}-\frac{1}{6}=7\left(d_n-\frac{1}{6}\right)+1$
$d_{n+1}=7d_n\Rightarrow d_n=d_0.7^n=2\frac{1}{6}.7^n$
$c_n=2\frac{1}{6}.7^n-\frac{1}{6}$
$b_n=6^{2\frac{1}{6}.7^n-\frac{1}{6}}$

[Гост]

в подточка а) как стана 3к + 129 = 0? Къде отиде Cn

[Добромир Глухаров]

в подточка а) как стана 3к + 129 = 0? Къде отиде Cn

Търсим такова к, че във получената рекурентна зависимост за $c_n$ да няма свободен член (приравняваме свободния член на 0).