S и P

[justme.h]

Да се намери сумата S и произведението P на всички обратими елементи на Z_16 ?
?

[Гост]

Общата схема за решаване на тези задачи е следната -
1) за намиране на сумата - обратимите елементи в [tex]\mathbb{Z}_{n}[/tex] са тези, които са взаимно прости с [tex]n[/tex]. Ако [tex]k[/tex] е взаимно просто с [tex]n[/tex] (обратим елемент в съответния пръстен), то и [tex]n-k[/tex] е взаимно просто с [tex]n[/tex] (и при това [tex]k\ne n-k[/tex], защото иначе [tex]n=2k[/tex], което би противоречало на това, че двете числа са взаимно прости). Така сборът на всички обратими представяме като сбор от събираемите [tex]k+(n-k)=n[/tex]. Но всяко такова събираемо е 0 в [tex]\mathbb{Z}_n[/tex]. Така крайният отговор е нула. (В [tex]\mathbb{Z}[/tex] сборът на числата по-малки от [tex]n[/tex] и взаимно прости с него е [tex]\frac{n\phi(n)}{2}[/tex], което веднага се вижда от горните разсъждения)
2) за намиране на произведението. Идеята отново е да разбием на двойки. Щом говорим за обратими елементи, то те имат обратни. Така за всеки обратим [tex]k[/tex], съществува [tex]k'[/tex], такъв че [tex]kk'=1[/tex]. В произведението на всички елементи обаче е възможно да има елементи, които не можем да отделим в двойка с техния обратен, така че да дават 1. Това са тези елементи, които са обратни сами на себе си или [tex]x*x=1[/tex]. За всяко конкретно [tex]n[/tex] трябва да се намерят тези елементи и да се умножат отделно. В конкретния случай търсим числата [tex]x[/tex], за който [tex]x^2-1[/tex] се дели на 16 (и по-малки от 16). Това са 1,7,9 и 15. Намираме тяхното произведение и вземам остатакът при деление на 16 - 1.
Може да се докаже, произведението е винаги или +1 или -1. Достатъчно е да докажем че произведението на тези, които са си взаимно обратни е [tex]\pm 1[/tex]. Забелязваме, че ако [tex]t[/tex] си е взаимно обратен, то и [tex]n-t[/tex] е такъв. Действително, [tex](n-t)^2=n^2-2nt+t^2\equiv t^2\equiv 1 (\mod n)[/tex]. Сега отново разбиваме на двойки (тук няма да има самостоятелен, понеже [tex]n\ne 2t[/tex]), [tex]t(n-t)=nt-t^2\equiv -1 (\mod n)[/tex]. Произведение на -1-ци е [tex]\pm 1[/tex].

[Saposto_MM]

Ако имаш още въпроси по Висша Алгебра заповядай тук. (аз съм автора на горния отговор, просто забравих да си вляза в профила)