Смятане на обем

[Гост]

В този случай, трябва да сметна троен ингетрал [tex]\int\int\int[/tex] 1 dxdydz , където първият е в интервала на x,
вторият на y и третият на z, нали?

[Гост]

[Гост]

Някой може ли да разясни, как се смята обем на фигура, зададена по подобен начин

[Гост]

Обем на тяло.

[Гост]

Как да извърша полярната смяна?

[Knowledge Greedy]

\sqrt{x}Тялото е ограничено отдолу от равнината [tex]z=0[/tex], отгоре - от повърхнината на ротационен параболоид [tex]z=x^2+y^2[/tex] и отстрани от цилиндрична повърхнина [tex]x^2+y^2=2[/tex]
Обема ще получим така [tex ]V=\underset{D} {\int \int} (x^2+y^2)dxdy[/tex]
[tex]V=\int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (x^2+y^2)dxdy[/tex]
Смяната на променливите
[tex]\begin{array}{|l} x = \rho cos\varphi \\ y =\rho sin\varphi \end{array}[/tex]
Освен това
[tex]x^2+y^2=\rho^2[/tex]
[tex]dxdy=\rho d \rho d\varphi[/tex]
[tex]V=4\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int\limits_{0}^{\sqrt{2}}\rho^3d\rho d\varphi[/tex]
Якобианът на смяната - от правоъгълни към полярни координати, е първият множител [tex]\rho[/tex] в дясната страна.
Пресмятането дава
[tex]V=4\frac{\pi}{2} . \frac{\rho^3}{3} \left|\begin{matrix}
\sqrt{2}\\
\\
0
\end{matrix}\right .=\frac{4\pi \sqrt{2}}{3}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Смятането на интеграла съм сбъркал, не успях да го поправя, а някой отвори ...
[tex]V=4\frac{\pi}{2} . \frac{\rho^4}{4} \left | \begin{matrix}
\sqrt{2}\\
\\
\\
0
\end{matrix}\right .=2\pi[/tex]