Сума на числов ред

[Гост]

Може ли някой да ми обясни как се сумират числови редове?
Например: Как се доказва, че [tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}[/tex]
или [tex]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(2.n-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}[/tex]

[Добромир Глухаров]

https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem

[Добромир Глухаров]

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\cdots=$

$=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\cdots\right)=$

$=\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots\right)=\frac{\pi^2}{6}\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{\pi^2}{8}$

[Гост]

Благодаря. Никога не бих се сетила за това.