Серпински

[Zarrie]

123.jpg.jpg (29.6 KiB) Прегледано 383 пъти

[drago]

Да минем към допълненията на тези интервали; това прави задачата по-нагледна.
Нека означим: $F_j=(\mathbb{R}\setminus U_j)\cap [a,b]\,,\, j=1,2,\dots$. Очевидно $F_j$ са затворени подмножества на $[a,b]$, всеки две от тях не се пресичат и обединението им е цялото $[a,b]$.
Една възможност е едно от тези множества да е $[a,b]$, а другите да са празни. Ще докажем, че друга възможност няма.

Нека $a\in F_k\,,\, b\in F_{\ell}$ за някои $k,\ell \in \mathbb{N}$. Означаваме $U=[a,b]\setminus(F_k \cup F_{\ell})$. Лесно се вижда че $U$ е отворено. Ако $U=\emptyset$ то пак лесно следва, че $F_k=F_{\ell}=[a,b]$. Да допуснем, че $U\neq \emptyset.$ Ще докажем, че това е невъзможно. И така:

Да се докаже, че отворено множество $U\neq\emptyset$ не може да се представи като изброимо обединение на непресичащи се затворени множества.


Всъщност за първи път видях това твърдение в блога на Теренс Тао. И даже го постнах тук в този форум: viewtopic.php?f=49&t=4373&p=22098
Ето и линка към блога на Тао: https://terrytao.wordpress.com/2010/10/ ... intervals/ (маркирай текста, ако искаш да прочетеш доказателството).

Ако трябва да бъдем точни в тези препратки $U$ е отворен интервал, а $F_j$ са затворени интервали, но същото доказателсво от блога на Теренс Тао става и за по-общия случай.

[drago]

Всъщност ето защо това се свързва с името на Серпински.
http://math.stackexchange.com/questions ... losed-sets