Висша математика 1

[Гост]

Здравейте, някой може ли да ми помогне с решението на тези три задачи?
Благодаря предварително!

[Davids]

3.
a) Детерминантата намираме по правилото на Сарус (аз го предпочитам):
[tex]det A = \begin{array}{|rrr|rr} 4&1&3&4&1\\2&1&-3&2&1\\ 4&1&5&4&1 \end{array} = 4.1.5 + 1.(-3).4 + 3.2.1 - 3.2.1 - 4.(-3).1 - 1.2.5 = 20 - 12 + 6 - 12 + 12 - 10 = 4 \ne 0 \Rightarrow[/tex] матрицата може да бъде обърната.
Започваме процеса по обръщането. Тъй като е от трети ред, аз бих използвал метода на адюнгираните количества:
[tex]А_{11} = (-1)^{1+1}\begin{array}{|rr|} 1&-3\\1&5\end{array} = 1.5 - (-3).1 = 8[/tex]
[tex]А_{12} = (-1)^{1+2}\begin{array}{|rr|} 2&-3\\4&5\end{array} = -(2.5 - (-3).4) = -22[/tex]
И т.н., пресмятаме ги, подредждаме ги наобратно (редовете стават колони) и умножаваме цялата матрица по [tex]\frac{1}{detA} = \frac{1}{4}[/tex] и получаваме като краен резултат: [tex]A^{-1} = \begin{pmatrix} 2&-\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\ -\frac{11}{2}&2&\frac{9}{2}\\ -\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2} \end{pmatrix}[/tex]

б) [tex]3А^{-1} + 2A^2[/tex]
Само трябва да намерим [tex]A^2 = A.A = \begin{pmatrix} 4&1&3\\2&1&-3\\ 4&1&5 \end{pmatrix} . \begin{pmatrix} 4&1&3\\2&1&-3\\ 4&1&5 \end{pmatrix} =[/tex]
Умножаваме ред по стълб, получавайки:
[tex]c_{11} = 16 + 2 + 12 = 30[/tex]
[tex]c_{12} = 8 + 2 - 12 = -2[/tex]
[tex]c_{13} = 16 + 2 + 20 = 38[/tex]
[tex]...[/tex]
[tex]c_{33} = 12 - 3 + 25 = 34[/tex]
И така финално, след като обърнем редовете в стълбове и обратно, [tex]A^{2} = \begin{pmatrix} 30&8&24\\-2&0&-12\\38&10&34 \end{pmatrix}[/tex]

Остава да пресметнем стойността на израза:
[tex]3А^{-1} + 2A^2 = 3.\begin{pmatrix} 2&-\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\ -\frac{11}{2}&2&\frac{9}{2}\\ -\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2} \end{pmatrix} + 2.\begin{pmatrix} 30&8&24\\-2&0&-12\\38&10&34 \end{pmatrix} =[/tex]
[tex]\begin{pmatrix} 6&-\frac{3}{2}&-\frac{9}{2}\\ -\frac{33}{2}&6&\frac{27}{2}\\ -\frac{3}{2}&0&\frac{3}{2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 60&16&48\\-4&0&-24\\76&20&68 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 66&\frac{29}{2}&\frac{87}{2}\\ -\frac{41}{2}&6&-\frac{21}{2}\\ \frac{149}{2}&20&\frac{139}{2} \end{pmatrix}[/tex]

в) [tex]AX = B[/tex]
[tex]\Rightarrow X = A^{-1}.B = \begin{pmatrix} 2&-\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\ -\frac{11}{2}&2&\frac{9}{2}\\ -\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2} \end{pmatrix}. \begin{pmatrix} 2&3\\1&2\\2&3 \end{pmatrix}[/tex]
[tex]c_{11} 4 - \frac{1}{2} - 3 = \frac{1}{2}[/tex]
[tex]c_{12} = -11 + 2 + 9 = 0[/tex]
[tex]c_{13} = -1 + 0 + 1 = 0[/tex]
И т.н... Докато достигнем до:
[tex]X = A^{-1}.B = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ 0&1\\0&0 \end{pmatrix}[/tex]

Много се надявам да е чисто откъм изчислителни грешки, но е доста възможно да съм прецакал нещо. Всички основни методи за действията ги има описани в интернет, като например действия с детерминанти, обратими матрици, линейни действия с матрици, умножение на матрици и т.н. Нужно е просто малко да се потърси