Израз с комплексни числа

[shadowhr]

...

[Гост]

Това е геометрична прогресия - събери я и замести [tex]\omega^{32}=1[/tex]
След това пиши отново, ако има нужда.

[Nathi123]

Да означим A=[tex]\varphi _{0 }^{326}+\varphi _{1 }^{326}+...+\varphi _{31 }^{326}[/tex] ( сумата от 326 -те степени на 32-та корена на единицата)
[tex]\varphi _{k }=cos\frac{2k\pi}{32} + i sin\frac{2k\pi}{32} ; k=0,1,2,...,31\Rightarrow A= \sum_{x=0}^{31 }cos\frac{2k\pi.326}{32} + i\sum_{x=0}^{31 }sin\frac{2k\pi.326}{32}[/tex] ( от ф-лата на Моавр) [tex]\Rightarrow A=\sum_{x=0}^{31 }cos\frac{163k\pi}{8}+i\sum_{x=0}^{31 }sin\frac{163k\pi}{8}\Rightarrow A= \sum_{x=0}^{31 }cos( 20k\pi+\frac{3k\pi}{8}) + i \sum_{x=0}^{31 }sin( 20k\pi+\frac{3k\pi}{8}) \Rightarrow[/tex]
[tex]A= \sum_{x=0}^{31 }cos\frac{3k\pi}{8} + i\sum_{x=0}^{31 }sin\frac{3k\pi}{8} = \frac{cos\frac{31.3\pi}{16}.sin\frac{32.3\pi}{16}}{sin\frac{3\pi}{16}}+i \frac{sin\frac{31.3\pi}{16}.sin\frac{32.3\pi}{16}}{sin\frac{3\pi}{16}}=\frac{sin6\pi}{sin\frac{3\pi}{16}}(cos\frac{31.3\pi}{16}+isin\frac{31.3\pi}{16})[/tex] [tex]\Rightarrow A = 0[/tex]
В решението използвам,че sin6[tex]\pi =0 ; cos0=1;sin0=0[/tex] и тъждествата :
[tex]1 + cos\alpha +cos2\alpha +...+cos n\alpha = \frac{cos\frac{n\alpha}{2}.sin\frac{(n+1)\alpha}{2}}{sin\frac{\alpha}{2}}[/tex]
[tex]sin\alpha+sin2\alpha+...+sinn\alpha = \frac{sin\frac{n\alpha}{2}.sin\frac{(n+1)\alpha}{2}}{sin\frac{\alpha}{2}}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Друг запис на решението.
Разглежданата редица [tex]\omega_{0}^{m}, \omega_{1}^{m} , ..., \omega_{31}^{m}[/tex]
е 32-членна геометрична прогресия с частно [tex]q= \omega_{1}^{m}[/tex]
[tex]\omega_{0}^{m} +\omega_{1}^{m} +...+\omega_{31}^{m} =\omega_{0}^{m} \frac{\left (\omega_{1}^{m} \right )^{32} -1}{\omega_{1}^{m} -1}[/tex]
И тъй като [tex]\forall k , 0\leq k \leq 31 \Rightarrow \omega_{k}^{32}=1[/tex] веднага следва, че при [tex]m=326[/tex] числителят на получената сума е нула.
Когато [tex]m[/tex] е цяло кратно на [tex]32[/tex] сумата ще е [tex]32[/tex] (но без горната формула ).

[Гост]

Това е геометрична прогресия ...

Защо е геометрична прогресия?

[Гост]

32 та корени на единицата са:
[tex]\omega _{k } = cos\frac{2k\pi}{32} , k = 0,1,2,...,31 \Rightarrow \omega _{1 } = cos\frac{2\pi}{32}+ i sin \frac{2\pi}{32}\Rightarrow \omega _{2 } = cos\frac{2.2\pi}{32}+ i sin \frac{2.2\pi}{32} = \omega _{1 }^{2}[/tex] ( от ф - ла на Моавр)
[tex]\omega_{3 }=coscos\frac{3.2\pi}{32}+ i sin \frac{3.2\pi}{32}=\omega_{1 }^{3}; ... ,\omega_{31 }=cos\frac{31.2\pi}{32}+ i sin \frac{31.2\pi}{32} = \omega_{1 }^{31}[/tex]