Теория на апроксимациите

[Zarrie]

Здравейте,
От скоро се опитвам да навляза в теория на апроксимациите, но ми е трудно да попадна на подходяща въвеждаща литература.
Моля някой който е запознат с теорията ми препоръча въвеждащи задачи и някаква уводна литература, не задължително българска, с която да навляза.
Благодаря предварително!

[Anubis]

Здравей, Zarrie. Ще споделя с теб скромния опит, който имам. За пръв път учих числени методи през 2011 г., когато бях 2 курс приложна математика във ФМИ на СУ. В началото ми беше хем интересно, хем трудно, защото това беше някакъв нов, непознат до този момент вид математика. В изминалите 5-6 години се занимавам само с това, като много тясно съм се специализирал в числените методи за диференциални уравнения (те обхващат числени методи в анализа и такива от линейната алгебра). Бих ти препоръчал следното.
1. Намери в интернет лекциите на Снежана Гочева по дисциплината компютърни числени методи и пробвай да ги прочетеш. Много са подходящи за първоначално запознаване. Съдържат много примери, решени на Wolfram Mathematica (числени методи без наличие на подходяща изчислителна техника по принцип не могат да бъдат прилагани поради големия брой изчисления).
2. Потърси в някоя библиотека или на пазара учебника "Числени методи" на проф. Борислав Боянов. По него на нас са ни чели лекции. Труден е, но обхваща това, което трябва да знаеш по апроксимации в анализа и в линейната алгебра.
3. На сайта на ФМИ в секцията "Учебници" можеш да намериш лекциите по числени методи за диференциални уравнения (ЧМДУ) и по теория на диференчните схеми (които надграждат материала по ЧМДУ). Страшно ще са ти полезни и по моя преценка много ще ти харесат.
4. Инсталирай си подходящ софтуер за научни изчисления (аз лично от няколко години използвам Matlab 7.11, който досега никога не ме е подвеждал). Създавай свои програми, които да реализират научените от теб числени методи (имай предвид че повечето от тях са вече build-in, но някои не са; за вградените използвай help tool). Така много лесно ще запомниш съответния числен метод. Разбира се, можеш да използваш и повече от един такъв софтуер (Matlab + Wolfram Mathematica + Maple + Sage, etc.).
5. Чети научна литература за съответния софтуер. Например за системата Matlab можеш да използваш книгите "Matlab 7. Преобразувания. Изчисления. Визуализация" на Йордан Тончев или директно да четеш от сайта на MathWorks. В интернет има и многобройни самоучители, самият аз оттам съм си намерил няколко книги по тематиката, мога да ти изпратя.
6. Разделяй числените методи по групи, например линейна интерполация (Нютон, Лагранж, сплайни), приближаване с алгебрични полиноми (least squares), числени методи за решаване на нелинейни уравнения (секущи, хорди, Нютон), числени методи за пресмятане на определен интеграл (формули на правоъгълниците, трапеците, Симпсън), числени методи за решаване на системи от линейни уравнения (Гаус-Зайдел, Якоби), числени методи за ОДУ (методи на Ойлер, Рунге-Кута), за ЧДУ (двуслойни и трислойни схеми) и т. н.
7. Хубаво ще бъде да запомниш порядъка на грешката, защото всеки числен метод, колкото и добро приближение да дава, води до някаква сумарна грешка (грешка от входни данни + грешка от закръгляне + грешка от самия числен метод). Така ще се ориентираш далеч по-добре при интерпретирането на резултатите, отколкото ако просто правиш числени експерименти с различни входни параметри.

[Zarrie]

Безкрайни благодарности за изчерпателния отговор! Несъмнено силна пътеводна светлина.