Криволинеен интеграл

[Гост]

Да се свиде към определен интеграл
[tex]\int[/tex](x-2y)dx+(2x+y)dy , където [tex]\gamma[/tex] e кривата [tex]x^{2}[/tex]+[tex]y^{2}[/tex]=4, обходена в положителна посока
Много моля някой да ми помогне с този тип задачи, че поправките идват

[Добромир Глухаров]

$I=\int_{\gamma}(x-2y)dx+(2x+y)dy;\ \ \ \gamma:x^2+y^2=4$

$\gamma$ е окръжност с център $O(0;0)$ и радиус $R=2$. Преминаваме от Декартови към полярни координати:

$\begin{array}{|l}x=2cost\\y=2sint\end{array}$

$dx=-2sintdt\\dy=2costdt$

Заместваме в търсения интеграл:

$I=\int_0^{2\pi}(2cost-4sint)(-2sint)dt+(4cost+2sint)(2cost)dt$

$I=\int_0^{2\pi}(\cancel{-4sintcost}+8sin^2t+8cos^2t\cancel{+4sintcost})dt$

$I=8\int_0^{2\pi}(sin^2t+cos^2t)dt=8\int_0^{2\pi}1.dt=8(2\pi-0)=16\pi$

[Гост]

Безкрайно много благодаря, дали не бихте ми помогнали и с тази
[tex]\int[/tex](x-2y)dx+(2x+y)dy , където [tex]\gamma[/tex] е контура на трапеца ОАВС с върхове О(0,0), А(3,0), В(3,3) и С(0,1), обходен в положителна посока.

[Добромир Глухаров]

$OA:x=t;y=0;dx=dt;dy=0;t\in(0;3)$
$\int_{OA}(x-2y)dx+(2x+y)dy=\int_0^3(t-0)dt+0=\frac{t^2}{2}|_0^3=\frac{9}{2}=4\frac{1}{2}$

$AB:x=3;y=t;dx=0;dy=dt;t\in(0;3)$
$\int_{AB}(x-2y)dx+(2x+y)dy=\int_0^3(3-2t).0+(6+t)dt=6t|_0^3+\frac{t^2}{2}|_0^3=18+\frac{9}{2}=22\frac{1}{2}$

$BC:x=3-3t;y=3-2t;dx=-3dt;dy=-2dt;t\in(0;1)$
$\int_{BC}(x-2y)dx+(2x+y)dy=\int_0^1(3-3t-6+4t)(-3)dt+(6-6t+3-2t)(-2)dt=\int_0^1(-9+13t)dt=-9t|_0^1+13\frac{t^2}{2}|_0^1=-9+\frac{13}{2}=-2\frac{1}{2}$

$CO:x=0;y=1-t;dx=0;dy=-dt;t\in(0;1)$
$\int_{CO}(x-2y)dx+(2x+y)dy=\int_0^1(-2+2t).0+(2.0+(1-t)).(-dt)=\int_0^1(t-1)dt=\frac{t^2}{2}|_0^1-t|_0^1=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$

$\int_{OABC}(x-2y)dx+(2x+y)dy=\int_{OA}(x-2y)dx+(2x+y)dy+\int_{AB}(x-2y)dx+(2x+y)dy+\int_{BC}(x-2y)dx+(2x+y)dy+\int_{CO}(x-2y)dx+(2x+y)dy=4\frac{1}{2}+22\frac{1}{2}-2\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=24$

[Гост]

$OA:x=t;y=0;dx=dt;dy=0;t\in(0;3)$
$\int_{OA}(x-2y)dx+(2x+y)dy=\int_0^3(t-0)dt+0=\frac{t^2}{2}|_0^3=\frac{9}{2}=4\frac{1}{2}$

$AB:x=3;y=t;dx=0;dy=dt;t\in(0;3)$
$\int_{AB}(x-2y)dx+(2x+y)dy=\int_0^3(3-2t).0+(6+t)dt=6t|_0^3+\frac{t^2}{2}|_0^3=18+\frac{9}{2}=22\frac{1}{2}$

$BC:x=3-3t;y=3-2t;dx=-3dt;dy=-2dt;t\in(0;1)$
$\int_{BC}(x-2y)dx+(2x+y)dy=\int_0^1(3-3t-6+4t)(-3)dt+(6-6t+3-2t)(-2)dt=\int_0^1(-9+13t)dt=-9t|_0^1+13\frac{t^2}{2}|_0^1=-9+\frac{13}{2}=-2\frac{1}{2}$

$CO:x=0;y=1-t;dx=0;dy=-dt;t\in(0;1)$
$\int_{CO}(x-2y)dx+(2x+y)dy=\int_0^1(-2+2t).0+(2.0+(1-t)).(-dt)=\int_0^1(t-1)dt=\frac{t^2}{2}|_0^1-t|_0^1=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$

$\int_{OABC}(x-2y)dx+(2x+y)dy=\int_{OA}(x-2y)dx+(2x+y)dy+\int_{AB}(x-2y)dx+(2x+y)dy+\int_{BC}(x-2y)dx+(2x+y)dy+\int_{CO}(x-2y)dx+(2x+y)dy=4\frac{1}{2}+22\frac{1}{2}-2\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=24$

Много благодаря за решението, зададена ми е да я реша по формулата на Грийн със свеждане към двоен интеграл, но не ми е ясно кои са границите тогава и как се получават

[Добромир Глухаров]

Трапец.png (7.15 KiB) Прегледано 396 пъти

$\oint_{OABC}(x-2y)dx+(2x+y)dy=\iint_{OABC}\left(\frac{\partial}{\partial x}(2x+y)-\frac{\partial}{\partial y}(x-2y)\right)dxdy=$

$=\iint_{OABC}(2-(-2))dxdy=4.\iint_{OABC}dxdy=4.S_{OABC}=2.(OC+AB).OA=2.4.3=24$

[Добромир Глухаров]

$S_{OABC}=\iint_{OABC}dxdy=\int_0^3dx.\int_0^{1+\frac{2}{3}x}dy=\int_0^3\left(y|_0^{1+\frac{2}{3}x}\right)dx=$

$=\int_0^3\left(1+\frac{2}{3}x\right)dx=x|_0^3+\frac{\cancel{2}}{3}\cdot\frac{x^2}{\cancel{2}}|_0^3=3+\frac{3^2}{3}=6$

[Гост]

Много благодаря за отделеното време