Ред на Тейлър

[Koceto]

Да се разложи по степените на х функцията f(x)=xe[tex]^{x}[/tex]

[Добромир Глухаров]

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots\\\Rightarrow xe^x=x+x^2+\frac{x^3}{2}+\frac{x^4}{3!}+\frac{x^5}{4!}+\frac{x^6}{5!}+\cdots$

[Добромир Глухаров]

Разбира се, ако трябва да използваме дословно формулата на Тейлър за функцията $f(x)=xe^x$, би било нещо такова:

$f(x)=f(0).(x-0)^0+f'(0).(x-0)^1+\frac{f''(0)}{2}\cdot(x-0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\cdot(x-0)^n+\cdots$

$f(x)=xe^x\Rightarrow f'(x)=e^x+xe^x;f''(x)=e^x+e^x+xe^x;...;f^{(n)}(x)=n.e^x+xe^x\Rightarrow f^{(n)}(0)=n$

$\Rightarrow f(x)=xe^x=0.(x-0)^0+1.(x-0)^1+\frac{2}{2}\cdot(x-0)^2+\cdots+\frac{n}{n!}\cdot(x-0)^n+\cdots$

$xe^x=x+x^2+\frac{3x^3}{3!}+\frac{4x^4}{4!}+\frac{5x^5}{5!}+\cdots+\frac{nx^n}{n!}+\cdots=x+x^2+\frac{x^3}{2!}+\frac{x^4}{3!}+\frac{x^5}{4!}+\cdots+\frac{x^n}{(n-1)!}+\cdots$

[KOPMOPAH]

Вижда се, че и тук има диференциране на произведение на функции $f(x)=u(x)v(x)$, където $u(x)=x$, $v(x)=e^x$ и упражнението от съседната тема не е било напразно

Само за обща култура ще спомена, че редът на Тейлър, който изглежда в общия случай
$f(x)=f(x_0)(x−x_0)^0+\frac{f′(x_0)}{1!}(x−x_0)^1+\frac{f′′(x_0)}{2!}(x−x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x−x_0)^n+\cdots$
при $x_0=0$, (както е в случая) придобива вида $f(x)=f(0)x^0+\frac{f′(0)}{1!}x^1+\frac{f′′(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\cdots$ и е известен като ред на Маклорен.

[Koceto]

благодаря а да попитам как става f(x)=xcos(x)

[Добромир Глухаров]

$cosx=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots\Rightarrow xcosx=x-\frac{x^3}{2}+\frac{x^5}{4!}-\frac{x^7}{6!}+\frac{x^9}{8!}-\cdots$