Неравенства с индукция

[Гост]

Докажете:
[tex]\frac{1}{n+1} < \frac{1.3.5 ... (2n-1)}{2.4.6 ... (2n)} < \frac{1}{\sqrt{3n+1}}[/tex]за [tex]n \ge 2[/tex]
Базата на индукцията ми е ясна - при [tex]n=2[/tex] и двете неравенства са изпълнени. Но после като допусна,
че за [tex]n=k[/tex] е вярно и тръгна с [tex]n=k+1[/tex] нещо не ми се получава. Ще съм благодарен, ако помогнете.

[Гост]

За n=k допускаме верността на твърдението:

[tex]\frac{1}{k+1}<\frac{1.3.5...(2k-1)}{2.4.6...(2k)}<\frac{1}{\sqrt{3k+1}}[/tex]

С негова помощ ще докажем неравенството за n=k+1 :

[tex]\frac{1}{k+2}<\frac{1.3.5...(2k-1)(2k+1)}{2.4.6...(2k)(2k+2)}<\frac{1}{\sqrt{3k+4}}[/tex]

От индукционното допускане имаме [tex]\frac{1}{k+1}<\frac{1.3.5...(2k-1)}{2.4.6...(2k)}[/tex] , от което следва [tex]\frac{1}{k+1}.\frac{(2k+1)}{(2k+2)}<\frac{1.3.5...(2k-1)}{2.4.6...(2k)}.\frac{(2к+1)}{(2к+2)}[/tex], тъй като умножаваме двете страни на неравенството с едно и също положително число.

Сега, ако се окаже, че [tex]\frac{1}{k+2}<\frac{1}{k+1}.\frac{(2k+1)}{(2k+2)}[/tex], ще докажем лявата страна на неравенството.

Всъщност това лесно се проверява, че е изпълнено за всяко положително k.

За дясната страна на неравенството отново използваме индукционното допускане, този път в частта
[tex]\frac{1.3.5...(2k-1)}{2.4.6...(2k)}<\frac{1}{\sqrt{3k+1}}[/tex]

Умножавайки двете страни на неравенството със същото положителното число, получаваме:
[tex]\frac{1.3.5...(2k-1)}{2.4.6...(2k)}.\frac{(2k+1)}{(2k+2)}<\frac{1}{\sqrt{3k+1}}.\frac{(2k+1)}{(2k+2)}[/tex]

Сега би било много услужливо от страна на [tex]\frac{1}{\sqrt{3k+1}}.\frac{(2k+1)}{(2k+2)}[/tex] , ако реши да е по-малко от [tex]\frac{1}{\sqrt{3k+4}}[/tex] , тъй като с това ще ни приключи задачата.

Проверката установява, че това също е изпълнено за k>0.