Матрица и система с параметър.

[Гост]

Решения и указания са добре дошли

[aifC]

6) Задача
[tex]\begin{array}{|l} ax + y + z = 1 \\ x + ay +z = 1 \\ x + y + az = 1 \end{array}[/tex] Разглеждаме първото уравнение и изразяваме [tex]x[/tex];

[tex]ax + y + z = 1 ||-(y + z) \Rightarrow ax = 1 - y - z ||:(a) \Rightarrow x = \frac{1 - y - z}{a}; a \ne 0;[/tex] Аналогично за [tex]y:[/tex]

[tex]\frac{1 - y - z}{a} + ay + z = 1 \Rightarrow y = -\frac{z-1}{1+a} , a \ne 0, -1, 1;[/tex]

[tex]\frac{1 - (-\frac{z - 1}{1 + a}) - z}{a} - \frac{z - 1}{1 + a} + az = 1 \Rightarrow z = \frac{1}{2+a}, a \ne -1, 1, -2;[/tex]

От получената стойност за [tex]z \Rightarrow y = \frac{1}{2 + a}, x = \frac{1}{2 + a}[/tex], При [tex]а = -2[/tex], няма решение.

[aifC]

За 5 задача рангът на матрицата е равен на 3 и отново , когато [tex]a = -2[/tex] няма решение.

[KOPMOPAH]

Аз бих решил системата с детерминанти, ето как:
$\begin{array}{|l} ax + y +z= 1 \\ x + ay +z= 1\\x+y+az=1 \end{array}$
$\Delta=\begin{vmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}=a^3-3a+2=(a-1)^2(a+2)$
$\Delta_1=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}=a^2-2a+1=(a-1)^2$
$\Delta_2=\begin{vmatrix}a&1&1\\1&1&1\\1&1&a\end{vmatrix}=a^2-2a+1=(a-1)^2$
$\Delta_3=\begin{vmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&1\end{vmatrix}=a^2-2a+1=(a-1)^2$
$x=\frac{\Delta_1}{\Delta}$, $y=\frac{\Delta_2}{\Delta}$, $z=\frac{\Delta_3}{\Delta}$
При $a=1$ системата е неопределена, при $a=-2$ няма решение.