Домашно

[shener.hadjimehmed]

Имам домашна и една от задачите ми гласи: Да се намерят първи и трети диференциал на функциите... , та въпроса ми е какви са тези първи и трети диференциал ? Производна ли ще рече , не разбирам...

[aifC]

Точно това ще рече, да сметнеш трите производни[tex]f',f'',f'''[/tex], ако се търсеше нещо друго щеше да е конкретизирано, като например, да се намери тоталния деферинциал или частната производна на функцията и т.н.

[Knowledge Greedy]

Диференциалът на функцията представлява нейното нарастване, изчистено от конкретното нарастване* в точката, в която е направено.
Докато в дефиницията за производна в точката [tex]t[/tex] на функцията [tex]y=y(x)[/tex]
[tex]y'(t)=\lim_{x \to t}\frac{\triangle y}{\triangle x}[/tex]
съществена роля играят както [tex]\triangle x = x-t[/tex] така и [tex]\triangle y = y(x)-y(t)[/tex], и производната в [tex]t[/tex] само приближено може да се изрази така [tex]y'(t)\approx \frac{\triangle y}{\triangle x}[/tex],
с диференциалите равенството е точно [tex]y'=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}[/tex]
Следователно
[tex]dy=y'dx[/tex]
____________
* Диференциалът [tex]dx[/tex] на аргумента [tex]x[/tex] по дефиниция съвпада с неговото нарастване [tex]\Delta x[/tex]
В този ред на мисли, казаното в началото трябва да се тълкува така: диференциалът на функцията се пресмята във всяка точка като линейна функция от диференциала на аргумента ѝ.

[grav]

Това е общо взето странна терминология, но някои я използват.

Ако имаш фунkция на една променлива [tex]y=f(x)[/tex], то диференциалите са

[tex]dy=f'(x)dx[/tex]

[tex]d^2y=f''(x)dx^2[/tex]

и т.н.

Ако е на две променливи [tex]z=f(x,y)[/tex], диференциалите са

[tex]dz=\frac{\partial f}{\partial x} dx+\frac{\partial f}{\partial y} dy[/tex]

[tex]d^2z=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} dx^2+2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} dxdy+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} dy^2[/tex]

и т.н.