контур на сянката на сфера

[realmadrid06]

Светлинен източник се намира в началото на координатната система. Намерете контура на сянката на сферата [tex]S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-10x+2y+10=0[/tex] в равнината [tex]3x-2y=30[/tex]

[Гост]

[Гост]

сферата е прозрачна, уе...няма никва сянка...

[ptj]

Не е трудна, стига да имате малко пространствено мислене, т.е. да си направите максимално прост план за решение.
Естествено първия въпрос е: кои точки от сферата са определящи за образуването на нейната сянка върху равнината?
Нека си представим един безкраен конус с връх координатното начало [tex]O(0;0;0)[/tex], чиято околна стена е перпендикулярна на сферата.Пресичането на околната стена на конуса с равнината [tex](\alpha:2x-3y=30)[/tex] ще ни даде контура на търсената в условието сянка.

Сечението на сферата и околната стена на конуса е окръжност [tex]k(T;r)[/tex] и за всяка нейна точка [tex]Q[/tex] е изпълнено [tex]PQ\bot OQ[/tex].
Общото уравнение на сферата има вида: [tex](x-5)^2+(y-(-1))^2+(z-0)^2=4^2[/tex].
Съответно нейния център е [tex]P(5;-1;0)[/tex], а радиуса [tex]PQ=4[/tex].

Понеже [tex]\vec{OQ}.\vec{PQ}=0[/tex], то можем да запишем уравнението на окръжността [tex]k[/tex] по следния начин:




...

[Knowledge Greedy]

Светлинен източник се намира в началото на координатната система. Намерете контура на сянката на сферата [tex]S: x^{2}+y^{2}+z^{2}-10x+2y+10=0[/tex] в равнината [tex]3x-2y=30[/tex].

Да запишем [tex]S[/tex] във вида [tex](x-5)^{2}+(y+1)^{2}+z^{2}=16[/tex] и така вече имаме представа за центъра ѝ [tex]C(5;-1;0)[/tex], както и за големината на радиуса ѝ [tex]R=4[/tex].
Равнината да означим дадената (проекционна) равнина с [tex]\alpha : 3x-2y=30[/tex]. Първият важен артефакт от [tex]\alpha[/tex] е векторът [tex]\vec{n}(3;-2;\,\ 0)[/tex] - със свойството [tex]\vec{n} \bot \alpha[/tex].
Нека [tex]\pi[/tex] е равнина със свойствата:
1. [tex]O\in \pi[/tex]
2. [tex]C \in \pi[/tex]
3. [tex]\pi \bot \alpha[/tex].
Това означава, че нормалният вектор [tex]\vec{p}[/tex] на [tex]\pi[/tex], представлява векторно произведение на [tex]\vec{OC}[/tex] и [tex]\vec{n}[/tex].
Откриваме [tex]\vec{p}(0 ;0 ;7 )[/tex] и стигаме до очевидния от самото начало факт, че [tex]\pi : z=0[/tex]
__________

Дотук осъзнахме, че задачата е проста, стига да погледнем от правилната посока.
Идеята нататък - написваме уравнението на конусна повърхнина с връх [tex]O(0;0;0)[/tex], която допира сферата - с образуващи на чертежа [tex]OA[/tex] и [tex]OB[/tex], след което пресичаме тази повърхнина с равнината [tex]\alpha[/tex].

Дирекционната крива на [tex]\kappa[/tex] е от сферата - окръжността с диаметър [tex]AB[/tex] (показана е "незаконно" на този чертеж). Тя ще се получи от уравнението на сферата (по-горе) и равнината [tex]\gamma[/tex], перпендикулярна на оста [tex]OC[/tex] на коничната повърхнина [tex]\kappa[/tex];
([tex]AB\subset \gamma[/tex] ).
Ето как:[tex]\left|\begin{matrix}
(x-5)^{2}+(y+1)^{2}+z^{2}=16 \\
5\left ( x-\frac{25}{13} \right )-\left (y-\frac{5}{13} \right ) = 0
\end{matrix}\right.[/tex]
Пояснение. Уравнението на [tex]\gamma[/tex] е получено с нейния нормален вектор [tex](5;-1;0)[/tex] и координатите на точка през която минава [tex]D \left ( \frac{25}{13} ;-\frac{5}{13};0 \right )[/tex] - центърът на окръжността (на средата между [tex]A \,\ и \,\ B[/tex]).
Остава да изключим параметрите [tex]\lambda, \mu \,\ и \,\ \nu[/tex] от системата
[tex]\left|\begin{matrix}
(\lambda-5)^{2}+(\mu+1)^{2}+\nu^{2}=16 \\
5\left ( \lambda-\frac{25}{13} \right )-\left (\mu-\frac{5}{13} \right ) = 0 \\
\frac{x}{\lambda}=\frac{y}{\mu}=\frac{z}{\nu}
\end{matrix}\right.[/tex]
и ще получим уравнението на конусната повърхнина [tex]\psi(x,y,z)=0[/tex] в декартови координати.
Пресичаме конусната повърхнина [tex]\psi(x,y,z)=0[/tex] с дадената равнина [tex]\alpha : 3x-2y=30[/tex] и получаваме уравнението на контура на сянката на сферата върху [tex]\alpha : 3x-2y=30[/tex].
...
_____________
Оказва се, че няма как да се получи реална сянка. Равнината екран [tex]\alpha[/tex] и обектът, който искаме да проектираме - сферата [tex]S[/tex], са така разположени в пространството, че светлинният източник [tex]O[/tex] е между тях.

Няма сянка dash няма контур.gif (34.29 KiB) Прегледано 445 пъти

[ptj]

Не е трудна, стига да имате малко пространствено мислене, т.е. да си направите максимално прост план за решение.
Естествено първия въпрос е: кои точки от сферата са определящи за образуването на нейната сянка върху равнината?
Нека си представим един безкраен конус с връх координатното начало [tex]O(0;0;0)[/tex], чиято околна стена е перпендикулярна на сферата.Пресичането на околната стена на конуса с равнината [tex](\alpha:2x-3y=30)[/tex] ще ни даде контура на търсената в условието сянка.

Сечението на сферата и околната стена на конуса е окръжност [tex]k(T;r)[/tex] и за всяка нейна точка [tex]Q[/tex] е изпълнено [tex]PQ\bot OQ[/tex].
Общото уравнение на сферата има вида: [tex](x-5)^2+(y-(-1))^2+(z-0)^2=4^2[/tex].
Съответно нейния център е [tex]P(5;-1;0)[/tex], а радиуса [tex]PQ=4[/tex].

Понеже [tex]\vec{OQ}.\vec{PQ}=0[/tex], то можем да запишем уравнението на окръжността [tex]k[/tex] по следния начин:

[tex]k:\begin{cases} (x-5)^2+(y-(-1))^2+(z-0)^2=4^2\\
(x-5)(x-0)+(y-1)(y-0)+(z-0)(z-0)=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=t\\y=5(2-t)\\
z=\sqrt{-26t^2+100t-90}\end{cases}[/tex]

Сянката ще се определи от:

[tex]shadow:\begin{cases} 3x-2y=30\\
\frac{x-0}{x-t}=\frac{y-0}{y-5(2-t)}\\
\frac{25-2\sqrt{10}}{13}\le t \le \frac{25+2\sqrt{10}}{13}\end{cases}[/tex]

Решението (според http://www.wolframalfa.com) e :

1.gif (2.35 KiB) Прегледано 444 пъти

2.gif (2.85 KiB) Прегледано 444 пъти

3.gif (2.91 KiB) Прегледано 444 пъти

П.П. За съжаление нямам време за търсене на грешки сега. По-важна е самата идея за решение със средствата на АГ.

[ptj]

Правата OP минаваща през [tex](0;0;0)[/tex] и [tex](5;-1;0)[/tex] се определя от:

[tex]OP: \begin{cases}
\frac{x-5}{5}=\frac{y+1}{-1}\\
z=0\end{cases}[/tex]

Нейното сечение с равнината [tex]\alpha:3x-2y=30[/tex] e :

[tex]M:\begin{cases}
\frac{x-5}{5}=\frac{y+1}{-1}\\
z=0\\
3x-2y=30\end{cases}\Leftrightarrow
\begin{cases}
x=\frac{150}{17}\approx 8.8235\\
y=-\frac{30}{17}\approx -1.7647\\
z=0\end{cases}[/tex]

Очевидно [tex]P[/tex] е между [tex]O[/tex] и [tex]M[/tex], сл. задачата има решение.

Нещо повече - сферата пресича равнината [tex]\alpha[/tex] и съответно сянката е ограничена от две затворени криви.

-------------------------------
Колкото до моето решение - "нищо ново под слънцето"!
Решавал съм задача с разменени коефициенти за равнината [tex]\alpha[/tex], затова крайния резултат е грешен.
Не е проблем да се коригира.

[Knowledge Greedy]

ptj е прав.
Аз също съм работил с друго уравнение на равнината [tex]\alpha[/tex] (а освен това и имам две грешки при параметризирането на конусната повърхнина).
Ето една от истинските картинки - поглед "отгоре" (към коорд. равнина [tex]z=0[/tex]).

Сянката на сферата.jpg (58.28 KiB) Прегледано 422 пъти

От този ракурс ясно се вижда и пресичането на сферата с проекционната равнина, което ptj спомена. [tex]DF[/tex] е сянката на сферата върху [tex]\alpha[/tex].