Да се пресметне

[aifC]

[tex]\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}}............+ \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} = ?[/tex]

[Nathi123]

[tex]A=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}=10-1=9[/tex]
( рационализираме знаменателя на всяка от дробите).

По - обща задача: Нека [tex]a_{1}, a_{2},...,a_{n}[/tex] са последователни членове на аритметична прогресия,да се пресметне:
[tex]A= \frac{1}{\sqrt{a_{1 }}+\sqrt{a_{2 }}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2 }}+\sqrt{a_{3}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{3 }}+\sqrt{a_{4 }}}+...\frac{1}{\sqrt{a_{n-1 }}+\sqrt{a_{n }}}[/tex]

[aifC]

[tex]\sum_{k=1}^{99 } \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} = \sum_{1}^{99 } \frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{k(k+1)} = \sum_{1}^{99 }(\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) = \sqrt{2}-\sqrt{1} + \sqrt{3} - \sqrt{2}+...............+\sqrt{100} - \sqrt{99} = \sqrt{100} - \sqrt{1} = 10-1 = 9;[/tex]