интеграл

[Гост]

[tex]\int ln( \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x} )dx[/tex]

[Добромир Глухаров]

$I=\int ln(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})dx$

Можем да започнем с интегриране по части:

$I=xln(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})-\int x\cdot\frac{(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})'_x}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}dx$

$I=xln(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})+\int\frac{xdx}{2-2x+2\sqrt{1-x^2}}dx-\int\frac{xdx}{2+2x+2\sqrt{1-x^2}}dx$

и да продължим например с Втора субституция на Ойлер:

$\sqrt{1-x^2}=t(x-1)\Rightarrow \fbox{t=-\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}}$

$1-x^2=t^2(x-1)^2$

$(t^2+1)x^2-2t^2x+t^2-1=0\Rightarrow D_1=t^4-(t^4-1)=1;\ \fbox{x=\frac{t^2-1}{t^2+1}};\ \fbox{dx=\frac{4t}{(t^2+1)^2}dt}$

$\sqrt{1-x^2}=t\left(\frac{t^2-1}{t^2+1}-1\right)=\frac{-2t}{t^2+1}$

Заместваме получените изрази за $x,dx,\sqrt{1-x^2}$ в двата интеграла и опростяваме изразите. Получавам:

$I=xln(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})-\int\frac{t(t+1)}{(t^2+1)^2}dt-\int\frac{1}{t^2+1}dt$

$\int\frac{t(t+1)}{(t^2+1)^2}dt=\int\frac{t^2}{(t^2+1)^2}dt+\int\frac{t}{(t^2+1)^2}dt=$

$=-\frac{1}{2}\int td{\frac{1}{t^2+1}}-\frac{1}{2(t^2+1)}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{t}{t^2+1}+\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t^2+1}-\frac{1}{2(t^2+1)}=$

$=\frac{1}{2}arctgt-\frac{1+t}{2(t^2+1)}$

$I=xln(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})+\frac{1+t}{2(t^2+1)}-\frac{3}{2}arctgt+C=xln(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})+\frac{1-x-\sqrt{1-x^2}}{4}+\frac{3}{2}arctg\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+C$

Възможно е да съм допуснал техническа грешка.

[Гост]

Благодаря за бързият и добре представен отговор!!!