Делимост, доказване и групи

[Parasyte]

Нещо ме затрудниха тези Може ли помощ?

[Knowledge Greedy]

1. Асоциативността се проверява непосредствено (доказателството е достъпно за осмокласници).
Разглеждаме тройка елементи на [tex]G[/tex]
[tex]a+b\sqrt{2}, c+d\sqrt{2}[/tex] и [tex]e+f\sqrt{2}[/tex].
След умножаване на първите два, а резултатът - по третия, получаваме [tex]ace+2bde+2adf+2bcf+(ade+bce+acf+2bdf)\sqrt{2}[/tex]
Ако първият умножим по резултата от умножението на втория и третия, отговорът е същият.
2. Неутралният елемент - единицата явно е рационалното число [tex]1[/tex].
3. Противоположният елемент [tex]x+y\sqrt{2}[/tex] на произволен елемент [tex]a+b\sqrt{2}[/tex] намираме така:
[tex](a+b\sqrt{2})(x+y\sqrt{2})=1[/tex]
Оттук [tex]x+y\sqrt{2}=\frac{1}{a+b\sqrt{2}}[/tex]
и след рационализиране [tex]x+y\sqrt{2}=\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}[/tex] ,
което означава, че [tex]x+y\sqrt{2}=\frac{a}{a^2-2b^2}+\frac{-b}{a^2-2b^2}\sqrt{2}[/tex]
Съгласно дефиницията за група, така определеното множество [tex]G[/tex] е група по отношение на умножението.