лице на триъгълник

[irizdr]

А(4,-1,1) В(1,4,3) С(-1,3,5) Да се намери лицето на триъгълника АВС

[Добромир Глухаров]

Мисля да използвам Херонова формула.

$|AB|=\sqrt{(1-4)^2+(4-(-1))^2+(3-1)^2}=\sqrt{3^2+5^2+2^2}=\sqrt{38}$

$|BC|=\sqrt{(-1-1)^2+(3-4)^2+(5-3)^2}=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3$

$|AC|=\sqrt{(-1-4)^2+(3-(-1))^2+(5-1)^2}=\sqrt{5^2+4^2+4^2}=\sqrt{57}$

$p=\frac{\sqrt{38}+3+\sqrt{57}}{2}$

$p-|AB|=\frac{3+\sqrt{57}-\sqrt{38}}{2}$

$p-|BC|=\frac{\sqrt{38}+\sqrt{57}-3}{2}$

$p-|AC|=\frac{\sqrt{38}+3-\sqrt{57}}{2}$

$p(p-|AB|)=\frac{(3+\sqrt{57})^2-38}{4}=\frac{6\sqrt{57}+28}{4}$

$(p-|BC|)(p-|AC|)=\frac{38-(\sqrt{57}-3)^2}{4}=\frac{6\sqrt{57}-28}{4}$

$S_{\Delta ABC}=\sqrt{p(p-|AB|)(p-|BC|)(p-|BC|)(p-|AC|)}=\sqrt{\frac{6\sqrt{57}+28}{4}\cdot\frac{6\sqrt{57}-28}{4}}$

$S_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{36.57-28^2}}{4}=\frac{\sqrt{1268}}{4}=\frac{\sqrt{317}}{2}$

[ptj]

Друг начин е с векторно произведение:

[tex]\vec{AB}(-3;5;2)[/tex]

[tex]\vec{AC}(-5;4;4)[/tex]

[tex]S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}|\vec{AB}х\vec{AC}|=\frac{1}{2}\bigg|\vec v\bigg(5.4-2.4;2.(-5)-(-3).4;(-3).4-5.(-5)\bigg)\bigg|=[/tex]

[tex]\frac{1}{2}\bigg|\vec v\bigg(12;2;13)\bigg)\bigg|=\frac{1}{2}\sqrt{144+4+169}=\frac{\sqrt{317}}{2}[/tex]