Големина на медиана (векторно и смесено произведение)

[mdh]

Здравейте,

Втори ден се опитвам да разбера как да реша ето тази задача:

Дадени са векторите [tex]\vec{a}[/tex] и [tex]\vec{b}[/tex], като [tex]|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1[/tex] и [tex]\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ[/tex]. Да се пресметне големината на медианата АМ на триъгълник ABC, ако [tex]\vec{AB} = \vec{a}[/tex] x [tex](\vec{a}[/tex] x [tex]\vec{b}), \vec{AC} = (\vec{a}[/tex] x [tex]\vec{b})[/tex] x [tex]\vec{b}[/tex].

Опитах се да я реша с ето тази формула: [tex]|\vec{c}| = |\vec{a}[/tex] x [tex]\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|sin\angle(\vec{a}, \vec{b})[/tex]. Получавам, че [tex]|\vec{c}| = \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] (Само да попитам, това значи ли, че [tex]\vec{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]?). Знам, че [tex]\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})[/tex]. Но съм до тук, не знам как да процедирам.

Ако някой ми помогне с каквото и да е, ще бъда много благодарна, понеже ми е за курсова работа, а дори и 2 точки да получа от тук, може да направи разлика.

Благодаря предварително на всеки отзовал се!

[Knowledge Greedy]

Това: [tex]\vec{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] е много груба грешка. Отляво е вектор, а дясното е число!
Полученото
[tex]\left |\vec{c} \right |=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
означава само, че векторът [tex]\vec{c}[/tex] има големина [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex].
______________
Да продължим с решението.
Нека означим с [tex]\vec{d}[/tex] онзи вектор, със свойствата
[tex]\left | \vec{d} \right |=1[/tex]
[tex]\vec{d}\bot \vec{a}[/tex]
и
[tex]\vec{d}\bot \vec{b}[/tex]
Знаем, че векторът [tex](\vec{a} \times \vec{b})[/tex] е перпендикулярен и на двата вектора [tex]\vec{a}[/tex] и [tex]\vec{b}[/tex][tex](\ast)[/tex]
Ето защо, полученото по-горе от Вас означава, че [tex]\vec{c} =\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{d}[/tex]
______________
Сега ще анализираме другите данни в условието. Изписваме ги с въведения единичен вектор [tex]\vec{d}[/tex] и намерения по-горе [tex]\vec{c}[/tex]
[tex]\vec{AB}= \vec{a} \times \vec{c}[/tex]
[tex]\vec{AD}= \vec{c} \times \vec{b}[/tex]
Събираме ги, вземаме половината от сбора и получаваме [tex]\vec{AM}=\frac{1}{2}\left ( \vec{a} \times \vec{c}+ \vec{c} \times \vec{b} \right )[/tex]
Понеже векторното произведение е антикомутативно,
[tex]\vec{AM}=\frac{1}{2}\left ( \vec{a} \times \vec{c}- \vec{b} \times\vec{c} \right )[/tex]
Или, по-кратко [tex]\vec{AM}=\frac{1}{2}\left ( \vec{a}- \vec{b} \right )\times \vec{c}[/tex]
За да завършим решението ни трябва скаларният квадрат
[tex]\vec{AM}^2=\frac{1}{4}\left | \vec{a}- \vec{b} \right |^2 . \vec{c}^2.sin90^\circ[/tex]
([tex]\ast[/tex]Да не забравяме, че векторът [tex]\vec{c}[/tex] е перпендикулярен на всяка линейна комбинация на векторите [tex]\vec{a}[/tex] и [tex]\vec{b}[/tex].)
Единственото, което ни остана е да открием [tex]\left| \vec{a} - \vec{b} \right |[/tex] - както сте направили с [tex]\left| \vec{a}+ \vec{b} \right |[/tex].
___________
Отговор.
[tex]\left |\vec{AM} \right | =\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex]

[mdh]

Съжалявам, че отговарям след толкова време, но не успях да разбера задачата изцяло. Не разбрах кой е този вектор [tex]\vec{d}[/tex]. Също така, не успях да разбера решението при скаларния квадрат - [tex]\sqrt{|\vec{a} - \vec{b}|}[/tex] на 1 ли е равно, и ако да - защо? И откъде идва този [tex]sin90^\circ[/tex]?

[Knowledge Greedy]

Отзад - напред.

Защо се появява този [tex]sin90^\circ[/tex]?
- Защото така е в определението за големината на вектор, който е векторно произведениена други два вектора. Останах с впечатлението че я знаете.

Какво знаем и какво не знаем....png (7.57 KiB) Прегледано 724 пъти

В случая - това, за което питате - се отнася за векторите [tex](\vec{a}-\vec{b})[/tex] и [tex]\vec{c}[/tex] - те са перпендикулярни - сключват прав ъгъл, мери се с [tex]90^\circ[/tex] и във формулата е [tex]sin90^\circ[/tex].

- За големината на [tex]\left |\vec{a}-\vec{b} \right |[/tex] също останах с впечатлението, че знаете откъде да изровите формула, която да Ви го сметне.
Ето я и от мен. [tex]\left |\vec{a}-\vec{b} \right |^2=(\vec{a}-\vec{b} )^2=\vec{a}^2-2\vec{a}\vec{b}+\vec{b}^2[/tex]
[tex]=\left |\vec{a} \right |^2-2\left | \vec{a} \right |\left | \vec{b} \right |cos60^\circ+\left | \vec{b} \right |^2[/tex]
Така
[tex]\left |\vec{a}-\vec{b} \right |^2=1^2-2.1.1.\frac{1}{2}+1^2=1[/tex]
Значи
[tex]\left|\vec{a}- \vec{b} \right|=1[/tex]

- За единичния вектор [tex]\vec{d}[/tex]

Четиcommaчетиcomma чети dash разбирането ще дойде.png (15.88 KiB) Прегледано 724 пъти

[mdh]

Много Ви благодаря за помощта, радвам се, че има хора като Вас, които отделят част от времето си, за да помагат на останалите!