помощ с ду

[themouse97]

трябва ми помощ със следното линейно ду:
y'=2y/x+3x

благодаря предварително за отделеното време

[Добромир Глухаров]

$y'=\frac{2}{x}\cdot y+3x$ - уравнението е линейно нехомогенно. Първо решаваме съответното хомогенно уравнение $y'=\frac{2}{x}\cdot y$.

$\frac{dy}{dx}=\frac{2y}{x}$
$\frac{dy}{y}=\frac{2dx}{x}$
$\int\frac{dy}{y}=\int\frac{2dx}{x}+C_1$
$lny=2lnx+C_1$
$y=e^{C_1}.e^{2lnx}=C.x^2$

Варираме константата: $y=C(x).x^2$ и заместваме в пълното нехомогенно уравнение: $(C(x).x^2)'=\frac{2}{x}\cdot C(x).x^2+3x$
$C'(x).x^2+2C(x).x=\frac{2}{x}\cdot C(x).x^2+3x$
$C'(x).x^2+\cancel{2C(x).x}=\cancel{2C(x).x}+3x$
$x^2.C'(x)=3x$
$C'(x)=\frac{3}{x}$
$C(x)=\int\frac{3dx}{x}+C=3ln|x|+C$

$y=(3ln|x|+C).x^2=Cx^2+3x^2ln|x|$