Геометрия

[Гост]

Дадено са точките А(0,1,2),В(1,0,4),С(1,2,3) в пространството. Да се намери:
а) Векторното произведение на АВ и АС
б)Лицето на триъгълник АВС
в) Уравнението на равнината през точките А,В и С

[Maximianus Herculius]

Дадени са точките А(0,1,2),В(1,0,4),С(1,2,3) в пространството. Да се намери:
а) Векторното произведение на АВ и АС.
Решение:
[tex]В(1,0,4)[/tex]
[tex]А(0,1,2)[/tex]
[tex]\vec{АВ}(1,-1,2)[/tex]

[tex]С(1,2,3)[/tex]
[tex]А(0,1,2)[/tex]
[tex]\vec{АС}(1,1,1)[/tex]

[tex]\vec{АВ} \times \vec{АС} \left ( \begin{vmatrix}
-1 & 2 \\
1 & 1
\end{vmatrix}, -\begin{vmatrix}
1 & 2\\
1 & 1
\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{vmatrix} \right )[/tex]

[tex]\Rightarrow \,\ \vec{АВ} \times \vec{АС} (-3,1,2)[/tex]

б)Лицето на триъгълник АВС.
Решение:
[tex]S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\left | \vec{АВ} \times \vec{АС} \right |[/tex]
[tex]\Rightarrow \,\ S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2+1^2+2^2}=\frac{\sqrt{14}}{2}[/tex]

в) Уравнението на равнината през точките А,В и С.
Решение:
[tex]А(0,1,2)[/tex]
[tex]\vec{АВ}(1,-1,2)[/tex]
[tex]\vec{АС}(1,1,1)[/tex]
Ако [tex]Р(x,y,z)[/tex] е произволна точка от равнината [tex](АВС)[/tex], уравнението ѝ (на равнината) се получава от
[tex]\begin{vmatrix}
x & y-1 & z-2 \\
1 & -1 & 2\\
1 & 1 & 1
\end{vmatrix}=0 \,\ \Rightarrow[/tex]

[tex](АВС): -3x+y+2z=5[/tex]