Триъгълник

[Гост]

Дадени са т.B(5,4) и правите [tex]b_{c }[/tex]:2x+y-4=0 и [tex]h_{c }[/tex]:x+y-2=0.Ако [tex]b_{c }[/tex] съдържа вътрешната ъглополовяща при върха C, а [tex]h_{c }[/tex] съдържа височината при върха C на триъгълник ABC, да се намерят кординатите на върховете A и C на триъгълник ABC, както и лицето му.

[KOPMOPAH]

Височина и ъглополовяща.png (12.22 KiB) Прегледано 315 пъти

От системата, съставена от уравненията на правите $b_c:2x+y-4=0$ и $h_c:x+y-2=0$ получаваме координатите на т.$C$:
$$\begin{array}{|l} 2x+y-4=0 \\x+y-2=0\end{array} \Rightarrow x=2,~y=0 \Rightarrow C(2,0)$$
Построяваме права $ab$, перпендикулярна на $h_c$ през върха $B$ - тя ще съдържа страната $c$. Ъгловият коефициент на $h_c$ е $-1$, следователно ъгловият коефициент на перпендикулярната права е $1$ (от условието за перпендикулярност на две прави $k_1.k_2=-1$).
Уравнението на перпендикулярната права изглежда така$$\frac{y-y_B}{x-x_B}=1 \Rightarrow \frac{y-4}{x-5}=1 \Rightarrow y=x-1$$
Построяваме т.$B_1$ - симетрична на т.$B$ спрямо ъглополовящата $b_c$:
$~~~~~-$ построяваме права $m$, перпендикулярна на $b_c$ през върха $B$ (както по-горе). Нейното уравнение е $$m:-x+2y-3=0$$
$~~~~~-$ съставяме системата $$\begin{array}{|l} 2x+y-4=0 \\ -x+2y-3=0\end{array}$$ чиито решения ни дават координатите на пресечената точка $D$ на правите $m$ и $b_c$.
$~~~~~-$ т.$D$ е средата на отсечката $BB_1$ и като знаем координатите на т.$B$ можем да намерим координатите на т.$B_1$ по формулата за средна точка., $B_1(-3,0)$.
Построяваме права $ab_1$ през т. $B_1$ и $C$. Както е известно уравнението на права, зададена с две точки е $$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1} $$ което в конкретния случай преобразуваме в $$ \frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$ за да избегнем нулевия знаменател. Получаваме уравнението $ab_1:y=0$, т.е. правата съвпада с абсцисната ос.
Търсената т.$A$ намираме от пресичането на правите $ab$ и $ab_1$, т.е. от решението на системата $$\begin{array}{|l} y=x -1 \\ y = 0 \end{array} \Rightarrow A(1,0)$$
В съответствие с формулата за лице на триъгълник $$S={\pm}\frac 12 \begin{vmatrix}x_A& y_A &1~\\ x_B& y_B& 1~\\ x_C &y_C& 1~ \end{vmatrix}= {\pm}\frac 12 \begin{vmatrix}1& 0 &1~\\ 5& 4& 1~\\ 2&0& 1~ \end{vmatrix}=2$$