Меню
Дали някой може да помогне за следната задача:
Изчислете, за кои стойности на [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] е сходящ интеграла:
[tex]\int\limits_{0}^{+\infty}[/tex][tex]е^{- \alpha x}[/tex][tex](x-1)^{\beta}[/tex]dx
Регистрация не е нужна, освен при създаване на тема в "Задача на седмицата".
Сходящ интеграл
5 мнения
• Страница 1 от 1
Re: Сходящ интеграл
от Sup3rlum » 31 Мар 2019, 15:51
$\int_0^\infty e^{-ax}(x-1)^bdx$
Може и със субституция, може и с binomial expansion.
Ако $b\ne 0$
$(-1)^b\int_0^\infty e^{-ax}(1-x)^bdx$
$(-1)^b\int_0^\infty e^{-ax}\sum_{k=0}^b{b \choose k}(-x)^kdx$
$\sum_{k=0}^{b}(-1)^{b+k}{b\choose k}\int_0^\infty e^{-ax}x^kdx$
Когато $a=1$, $\int_{0}^\infty e^{-x}x^kdx = k!$
$\sum_{k=0}^{b}(-1)^{b+k}\frac{b!}{(b-k)!}$
Тогава интеграла е сходящ, за всички $b>0$.
Когато $a<0$ интеграла е разходящ за всички $b$. $e^x$ клони към $\infty$.
Когато $a>0$ интеграла е сходящ. $\frac{ x^k}{e^{ax}}$ Клони към нула за всяко $b$. И така като интеграла е просто една сумация, с обикновен тест за граници се доказва, че е сходящ.
Когато $a=0$ интегралът става $\int_0^\infty (x-1)^bdx$ Който е разходящ за всички $b\ne 0$.
Може и със субституция, може и с binomial expansion.
Ако $b\ne 0$
$(-1)^b\int_0^\infty e^{-ax}(1-x)^bdx$
$(-1)^b\int_0^\infty e^{-ax}\sum_{k=0}^b{b \choose k}(-x)^kdx$
$\sum_{k=0}^{b}(-1)^{b+k}{b\choose k}\int_0^\infty e^{-ax}x^kdx$
Когато $a=1$, $\int_{0}^\infty e^{-x}x^kdx = k!$
$\sum_{k=0}^{b}(-1)^{b+k}\frac{b!}{(b-k)!}$
Тогава интеграла е сходящ, за всички $b>0$.
Когато $a<0$ интеграла е разходящ за всички $b$. $e^x$ клони към $\infty$.
Когато $a>0$ интеграла е сходящ. $\frac{ x^k}{e^{ax}}$ Клони към нула за всяко $b$. И така като интеграла е просто една сумация, с обикновен тест за граници се доказва, че е сходящ.
Когато $a=0$ интегралът става $\int_0^\infty (x-1)^bdx$ Който е разходящ за всички $b\ne 0$.
Re: Сходящ интеграл
от Kre4etalo » 02 Апр 2019, 02:41
Първо, имам усещането, че задачата не е коректно дефинирана. Обикновено се поразбира, че параметрите са произволни реални числа. Следователно трябва да се сложи модул на $x-1$ (какво ще се случи със стойностите на подинтегралната функция при $\beta=1/2$ в интервала $(0,1)$).
Относно решението, колега (автора му), не е вярно. Най-малкото не знаем $\beta$ дали е естествено число, за да развиваме по Нютоновия бином. Чисто техническа забележка - отговорът не е представен като обединение на взаимно изключващи се алтернативи, които обхващат всички възможности за параметрите.
Важно е да се разгледа $\beta<0$ - ще имаме особеност в точката $1$.
Утре, ако имам време, ще опиша решение. Помислете и Вие как може да коригирате Вашето.
Разбирам ентусиазма Ви, да решавате и да помагате на други хора. Но нека бъдем внимателни. Ако имаме съмнения в знанията си, или не сме преминали под външна оценка, нека известим това на автора на задачата - за да може той да е наясно, че не е сигурно дали всичко е съвсем точно - въпреки Вашето желание за помощ.
Относно решението, колега (автора му), не е вярно. Най-малкото не знаем $\beta$ дали е естествено число, за да развиваме по Нютоновия бином. Чисто техническа забележка - отговорът не е представен като обединение на взаимно изключващи се алтернативи, които обхващат всички възможности за параметрите.
Важно е да се разгледа $\beta<0$ - ще имаме особеност в точката $1$.
Утре, ако имам време, ще опиша решение. Помислете и Вие как може да коригирате Вашето.
Разбирам ентусиазма Ви, да решавате и да помагате на други хора. Но нека бъдем внимателни. Ако имаме съмнения в знанията си, или не сме преминали под външна оценка, нека известим това на автора на задачата - за да може той да е наясно, че не е сигурно дали всичко е съвсем точно - въпреки Вашето желание за помощ.
Re: Сходящ интеграл
от Sup3rlum » 02 Апр 2019, 11:52
Kre4etalo написа:...
Задачата не е конкретно дефинирана, това е ясно. Но като имам да работя само с това, се предполага, че имам свободата поне и малко за свободна интерпретация. За точно тази задача, с експоненциал и полином, няма как да имаш дискретни стойности за $\alpha$ и $\beta$.
Първо, питай няколко хора значението на сходящ интеграл - дали получаваш като отгововор реално число, комплексно число, или банани, интеграла си е сходящ. При случая $\beta=1/2$ получаваш един интересен интеграл които може дори да се реши и на ръка. Естествено накрая получаваш комплексни числа, но интеграла си е изцяло сходящ.
Второ "нютоновия бином" има един малък приятел който е дефиниран за числa $x\in \Z |x|\le 1$, и ако се беше сетил за него, можеше и да знаеш, че когато единия член е равен на 1, с няколко преубразования от едното разширание се стига до другото. Колко променя това отговора? Нищо не променя.
Трето когато толкова бързо искаш да критикуваш някой, си напиши домашното, и прави както аз правя - проверявам си отговорите. Има един сайт за пресмятане на интеграли с числени стойности. За тези числа които те карат да се притесняваш за равоя на крайността на интеграла, съм проверил. Не се притеснявай. Може е и да съм сгрешил някъде, но никъде не съм казал, че това е пълното решение. Госта да си го сглоби сам. Още няколко слиучая има сигорна да, но не съм задължен да правя пълен анализ на никой на домашното, а това горе работи. Като не вярваш, взимай калкулатора и пробвай. Ако намериш нещо, кажи, да си редактирам отговора.
Re: Сходящ интеграл
от Kre4etalo » 02 Апр 2019, 21:02
Колега, идеята ми не беше да се заяждам, нито да влизам в спорове. Идеята е да се учим, взаимно. Вероятно съм по-голям от теб и имам повече опит. Почерпи от моя опит. Целта ми не е да показвам грешките ти, за да се правя на разбирач. Напротив, правя го за да се поучим. Приеми критиката в предишния ми пост като градивна, полезна за теб. Според мен предназначението на форума е преди всичко да се учим и обогатяваме, а не да показваме кой е голямата работа. Поне към това трябва да се стремим.
Съвет - не ползвай методи за числено пресмятане при пресмятане на несобствени интеграли. Обикновено са податливи на грешки.
Доколкото разбирам сме съгласни, че $\beta$ може да не е цяло. Тогава равенството $$(1-x)^b=(-1)^b\sum_{k=0}^b{b \choose k}(-x)^k,$$ което изглежда използваш, за да стигнеш от първия до втория ред, няма как да бъде вярно, например при $\beta=1/10$ (има подобно равенство, но при него сумирането е до безкрайност и то е в сила само за $x\in(-1,1)$).
Ще формулирам задачата както трябва да изглежда според мен (действително, сходимостта зависи от това дали подинтегралната функция е комплексна, но ще считам, че са имали предвид интеграли от реалнозначни функции).
Да се намери за кои стойности на реалните параметри $\alpha$ и $\beta$ е сходящ интегралът $$\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x}|x-1|^{\beta}\text{d}x.$$
Ще използваме скалата, която се взема на лекции (или поне подобна): $$\int_a^b(x-a)^{p}\text{d}x$$ е сходящ точно когато $p>-1$, и
$$\int_1^{\infty}e^{-ax}x^b\text{d}x$$ е сходящ точно когато $a>0,\ b\in\mathbb{R}$ или $a=0,\ b< -1.$
Решение. При $\beta\ge 0$ единствената особеност е в $\infty$. Подинтегралната функция е сравнима в безкрайност с $e^{-\alpha x}x^{\beta}$, следователно по критерия за сравнение интегралът е сходящ за $\alpha<0$ (от втората скала) ($\alpha=0$ е невъзможно, понеже за да бъде сходящ, ще е необходимо $\beta<-1$, а в случая $\beta\ge 0$).
При $\beta<0$ интегралът има още една особеност, $x=1$. Разбиваме интегралът на две части - от $0$ до $2$ и от $2$ до $\infty$. Съгласно скалата, и със сравнение както по-горе, интегралът $$\int_{2}^{\infty}e^{-\alpha x}|x-1|^{\beta}\text{d}x$$ е сходящ за $\alpha<0$ или за $\alpha=0$ и $\beta<-1$.
Сега разглеждаме
$$\int_{0}^{2}e^{-\alpha x}|x-1|^{\beta}\text{d}x$$
В особената точка, $e^{-\alpha x}$ клони към $e^{-\alpha}\ne 0$, така че по критерия за сравнение можем да забравим за този множител.
Остава $|x-1|^{\beta}$. Съгласно първата скала, това е сходящо за $\beta>-1$.
Така, за да бъдат сходящи и двата интеграла в този случай, е необходимо $\alpha<0,\ \beta>-1$ ($\alpha=0$ отпада, защото тогава първият е сходящ за $\beta<-1$, което прави втория разходящ)
Като направим обединения на двата случая получаваме, че интегралът е сходящ точно когато $\alpha<0,\ \beta>-1$.
Съвет - не ползвай методи за числено пресмятане при пресмятане на несобствени интеграли. Обикновено са податливи на грешки.
Доколкото разбирам сме съгласни, че $\beta$ може да не е цяло. Тогава равенството $$(1-x)^b=(-1)^b\sum_{k=0}^b{b \choose k}(-x)^k,$$ което изглежда използваш, за да стигнеш от първия до втория ред, няма как да бъде вярно, например при $\beta=1/10$ (има подобно равенство, но при него сумирането е до безкрайност и то е в сила само за $x\in(-1,1)$).
Ще формулирам задачата както трябва да изглежда според мен (действително, сходимостта зависи от това дали подинтегралната функция е комплексна, но ще считам, че са имали предвид интеграли от реалнозначни функции).
Да се намери за кои стойности на реалните параметри $\alpha$ и $\beta$ е сходящ интегралът $$\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x}|x-1|^{\beta}\text{d}x.$$
Ще използваме скалата, която се взема на лекции (или поне подобна): $$\int_a^b(x-a)^{p}\text{d}x$$ е сходящ точно когато $p>-1$, и
$$\int_1^{\infty}e^{-ax}x^b\text{d}x$$ е сходящ точно когато $a>0,\ b\in\mathbb{R}$ или $a=0,\ b< -1.$
Решение. При $\beta\ge 0$ единствената особеност е в $\infty$. Подинтегралната функция е сравнима в безкрайност с $e^{-\alpha x}x^{\beta}$, следователно по критерия за сравнение интегралът е сходящ за $\alpha<0$ (от втората скала) ($\alpha=0$ е невъзможно, понеже за да бъде сходящ, ще е необходимо $\beta<-1$, а в случая $\beta\ge 0$).
При $\beta<0$ интегралът има още една особеност, $x=1$. Разбиваме интегралът на две части - от $0$ до $2$ и от $2$ до $\infty$. Съгласно скалата, и със сравнение както по-горе, интегралът $$\int_{2}^{\infty}e^{-\alpha x}|x-1|^{\beta}\text{d}x$$ е сходящ за $\alpha<0$ или за $\alpha=0$ и $\beta<-1$.
Сега разглеждаме
$$\int_{0}^{2}e^{-\alpha x}|x-1|^{\beta}\text{d}x$$
В особената точка, $e^{-\alpha x}$ клони към $e^{-\alpha}\ne 0$, така че по критерия за сравнение можем да забравим за този множител.
Остава $|x-1|^{\beta}$. Съгласно първата скала, това е сходящо за $\beta>-1$.
Така, за да бъдат сходящи и двата интеграла в този случай, е необходимо $\alpha<0,\ \beta>-1$ ($\alpha=0$ отпада, защото тогава първият е сходящ за $\beta<-1$, което прави втория разходящ)
Като направим обединения на двата случая получаваме, че интегралът е сходящ точно когато $\alpha<0,\ \beta>-1$.
5 мнения
• Страница 1 от 1
Кой е на линия
Регистрирани потребители: Google [Bot]